Проект по математике на тему "способы умножения натуральных чисел". Умножение способом «маленький замок Как умножают в других странах

Мир математики очень велик, но я всегда интересовалась способами умножения. Работая над этой темой, я узнала много интересного, научилась подбирать нужный мне материал из прочитанного. Усвоила, как решаются отдельные занимательные задачи, головоломки и примеры умножения разными способами, а так же и то, на чем основаны арифметические фокусы и интенсивные приемы вычислений.

ПРО УМНОЖЕНИЕ

Что остается у большинства людей в голове из того, что они когда-то изучали в школе? Конечно, у разных людей - разное, но у всех, наверняка, таблица умножения. Помимо усилий, приложенных для ее «задалбливания» вспомним сотни (если не тысячи) задач, решенных нами с ее помощью. Триста лет назад в Англии человек, знающий таблицу умножения, уже считался ученым человеком.

Способов умножения было придумано много. Итальянский математик конца XV - начала XVI века Лука Пачиоли в трактате об арифметике приводит 8 различных способов умножения. В первом, который носит название «маленький замок», цифры верхнего числа, начиная со старшей, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей. Затем результаты складываются. Преимущество этого метода перед обычным состоит в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно при прикидочных расчетах.

Второй способ носит не менее романтическое название «ревность» (или решетчатое умножение). Рисуется решетка, в которую затем вписывают результаты промежуточных вычислений, точнее, числа из таблицы умножения. Решетка является прямоугольником, разделенным на квадратные клетки, которые, в свою очередь, разделены пополам диагоналями. Слева (сверху вниз) писался первый множитель, а наверху - второй. На пересечении соответствующей строки и столбца писалось произведение стоящих в них цифр. Затем полученные числа складывались вдоль проведенных диагоналей, а результат записывался в конце такого столбика. Результат прочитывался вдоль нижней и правой сторон прямоугольника. «Такая решетка, - пишет Лука Пачиоли, - напоминает решетчатые ставни-жалюзи, которые вешались на венецианские окна, мешая прохожим видеть сидящих у окон дам и монахинь».

Все способы умножения, описанные в книге Луки Пачиоли, использовали таблицу умножения. Однако русские крестьяне умели умножать и без таблицы. Их способ умножения использовал лишь умножение и деление на 2. Чтобы перемножить два числа, их записывали рядом, а затем левое число делили на 2, а правое умножали на 2. Если при делении получался остаток, то его отбрасывали. Затем вычеркивались те строчки в левой колонке, в которых стоят четные числа. Оставшиеся числа в правой колонке складывались. В результате получалось произведение первоначальных чисел. Проверьте на нескольких парах чисел, что это действительно так. Доказательство справедливости этого метода показывается с помощью двоичной системы счисления.

Старинный русский способ умножения.

С глубокой древности и почти до восемнадцатого века русские люди в своих вычислениях обходились без умножения и деления: они применяли лишь два арифметических действия - сложение и вычитание, да ещё так называемые «удвоение» и «раздвоение». Сущность русского старинного способа умножения состоит в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам (последовательное, раздвоение) при одновременном удвоении другого числа. Если в произведении, например 24 X 5, множимое уменьшить в 2 раза («раздвоить»), а множитель увеличить в 2 раза

(«удвоить»), то произведение не изменится: 24 х 5 = 12 X 10 =120. Пример:

Деление множимого пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, одновременно удваивая множитель. Последнее удвоенное число и- даёт искомый результат. Значит, 32 X 17 = 1 X 544 = 544.

В те давние времена удвоение и раздвоение принимались даже за особые арифметические действия. Только какие же это особые. действия? Ведь, например, удвоение числа - это не особое действие, а всего лишь сложение данного числа с самим собой.

Заметим числа делятся па 2 всё время без остатка. А как же быть, если множимое делится на 2 с остатком? Пример:

Если множимое не делится на 2, то от него сначала отнимается единица, а затем уже производится деление на 2. Строчки с чётными множимыми вычёркиваются, а правые части строчек с нечётными множимыми складываются.

21 X 17 = (20 + 1) X 17 = 20 X 17+17.

Число 17 запомним (первая строка не вычёркивается!), а произведение 20 X 17 заменим равным ему произведением 10 X 34. Но произведение 10 X 34, в свою очередь, можно заменить равным ему произведением 5 X 68; поэтому вторая строка вычёркивается:

5 X 68 = (4 + 1) X 68 = 4 X 68 + 68.

Число 68 запомним (третья строка не вычёркивается!), а произведение 4 X 68 заменим равным ему произведением 2 X 136. Но произведение 2 X 136 можно заменить равным ему произведением 1 X 272; поэтому четвёртая строка вычёркивается. Значит, чтобы вычислить произведение 21 X 17, нужно сложить числа 17, 68, 272 - правые части строчек именно с нечётными множимыми. Произведения же с чётными множимыми всегда можно заменить с помощью раздвоения множимого и удвоения множителя равными им произведениями; поэтому такие строчки исключаются из вычисления окончательного произведения.

Я попробовала сама умножать старинным способом. Я взяла числа 39 и 247, у меня получился такой

Столбиков получатся ещё более длинные, чем у меня если брать множимое больше, чем 39. Тогда я решил, тот же пример по-современному:

Оказывается, наш школьный способ умножения чисел значительно проще и экономнее, чем старинный русский способ!

Только мы должны знать прежде всего таблицу умножения, а наши предки её не знали. Кроме того, мы должны хорошо знать и само правило умножения, они же знали только, как удваивать да раздваивать числа. Как видите, вы умеете умножать значительно лучше и быстрее, чем самый знаменитый вычислитель в древней Руси. Между прочим, несколько тысяч лет тому назад египтяне выполняли умножение почти точно так же, как и русские люди в старину.

Вот здорово, что люди из разных стран, умножали одним и тем же способом.

Не так давно, всего около ста лет тому назад, заучить таблицу умножения было делом очень трудным для учащихся. Чтобы убедить учеников в необходимости знания наизусть таблицы, авторы математических книг издавна прибегали. к стихам.

Вот несколько строк из незнакомой нам книги: «Но ко умножению потребно есть последующую таблицу, толь твердо в памяти имети, тако да кое-ждо число, с коимждо умножив, безо всякого медления речию сказати, или написати, такоже 2-жды 2 есть 4, или 2-жды 3 есть 6, и 3-жды 3 есть 9 и прочая».

Аще кто не твердитъ И во всей науки таблицы и гордитъ, несвободъ от муки,

Не можетъ познати Колико не учитъ числомъ что множати туне ся удручитъ

Правда, в этом отрывке и стихах не всё понятно: написано как-то не совсем по-русски, ведь всё это написано более 250лет тому назад, в 1703 году, Леонтием Филипповичем Магницким, замечательным русским педагогом, а с тех пор русский язык заметно изменился.

Л. Ф. Магницкий написал и издал первый в России печатный учебник арифметики; до него же были лишь рукописные математические книги. По «Арифметике» Л. Ф. Магницкого учился великий русский учёный М. В. Ломоносов, а также многие другие видные русские учёные восемнадцатого века.

А как умножали в те времена, во времена Ломоносова?. Посмотрим пример.

Как мы поняли, действие умножения тогда записывали почти так, как и в наше время. Только множимое называли «еличество», а произведение - «продукт» и, кроме того, не писали знак умножения.

А как тогда объясняли умножение?

Известно, что М. В. Ломоносов знал наизусть всю «Арифметику» Магницкого. В соответствии с этим учебником маленький Миша Ломоносов умножение 48 на 8 объяснил бы так: «8-жды 8 есть 64, я 4 пишу под чертою, против 8, а 6 десятиц во уме имею. И дальше 8-жды 4 есть 32, и я 3 во уме держу, а к 2 приложу 6 десятиц, и будет 8. И сие 8 напишу подле 4, в ряд к левой руке, а 3 пока во уме суть, напишу в ряд подле 8, к левой же руке. И будет из умножения 48 с 8 произведение 384».

Да и мы почти так же объясняем,только мы говорим по-современному, а не по-старинному и, кроме того, называем разряды. Например, 3 надо писать на третьем месте потому, что это будут сотни, а не просто «в ряд подле 8, к левой же руке».

Рассказ «Маша - «фокусница»».

Я могу угадывать не только день рождения, как это делал прошлый раз Павлик, но и год рождения, - начала Маша.

Номер месяца, в котором вы родились, умножьте на 100. , затем прибавьте день рождения. , результат умножьте на 2. , к полученному числу прибавьте 2; результат умножьте на 5, к полученному числу прибавьте 1, к результату припишите нуль. , к полученному числу прибавьте ещё 1. и, наконец, прибавьте число ваших лет.

Готово, у меня получилось 20721. - говорю я.

* Правильно, - подтвердил я.

А у меня получилось 81321, - сообщает Витя, ученик третьего класса.

Ты, Маша наверное ошиблась, - усомнился Петя. - Как же так получается: Витя из третьего класса, а родился тоже в 1949 году, как и Саша.

Нет, Маша верно угадала, - подтверждает Витя. Только я один год долго болел и поэтому дважды ходил во второй класс.

* А у меня получилось 111521, - сообщает Павлик.

Как же так, - спрашивает Вася, - Павлику тоже 10 лет, как и Саше, а родился он в 1948 году. Почему же не в 1949 году?

А потому, что сейчас идёт сентябрь, а Павлик родился в ноябре, и ему ещё только 10 лет, хотя он и родился в 1948 году, - объяснила Маша.

Она угадала дату рождения ещё трёх-четырёх учеников, а затем объяснила, как она это делает. Оказывается, от последнего числа она отнимает 111, а потом остаток ивает на три грани справа налево по две цифры. Средние две цифры обозначают день рождения, первые две пли одна - номер месяца, а последние две цифры число лет. Зная же, сколько человеку лет, нетрудно определить и год рождения. Например, у меня получилось число 20721. Если от него отнять 111, то получится 20610. Значит, сейчас мне 10 лет, а родился я 6 февраля. Так как сейчас идёт сентябрь 1959 года, то, значит, я родился в 1949 году.

А почему надо отнимать именно 111, а не какое-нибудь другое число? - спросили мы. -И почему именно так распределяются день рождения, номер месяца и число лет?

А вот смотрите, - пояснила Маша. - Например, Павлик, выполняя мои требования, решил такие примеры:

1)11 X 100 = 1100; 2) 1100 + J4 = 1114; 3) 1114 X 2 =

2228; 4) 2228 + 2 = 2230; 57 2230 X 5 = 11150; 6) 11150 1 = 11151; 7) 11151 X 10 = 111510

8)111510 1 1-111511; 9)111511 + 10=111521.

Как видно, номер месяца (11) он умножал на 100, затем на 2, потом ещё на 5 и, наконец, ещё на 10 (приписывал куль), а всего на 100 X 2 X 5 X 10, то есть на 10000. Значит, 11 стали десятками тысяч, то есть составляют третью грань, если считать справа налево по две цифры. Так узнают номер месяца, в котором вы родились. День рождения (14) он умножал на 2, затем на 5 и, наконец, ещё на 10, а всего на 2 X 5 X 10, то есть на 100. Значит, день рождения надо искать среди сотен, во второй грани, но тут имеются посторонние сотни. Смотрите: он прибавлял число 2, которое умножал на 5 и на 10. Значит, у него получилось лишнего 2x5x10=100 - 1 сотня. Эту 1 сотню я и отнимаю от 15 сотен в числе 111521, получается 14 сотен. Так я узнаю день рождения. Число лет (10) ни на что не умножалось. Значит, это число нужно искать среди единиц, в первой грани, но тут имеются посторонние единицы. Смотрите: он прибавлял число 1, которое умножал на 10, а затем прибавлял ещё 1. Значит, у него получилось всего лишних 1 х ТО + 1 = 11 единиц. Эти 11 единиц я и отнимаю от 21 единицы в числе 111521, получается 10. Так я узнаю число л е т. А всего, как видите, от числа 111521 я отнимала 100+ 11 = 111. Когда я от числа 111521 отняла 111, то получилось ПНЮ. Значит,

Павлик родился 14 ноября, и ему 10 лет. Сейчас идёт 1959-й год, но я 10 отнимала не от 1959, а от 1958, так как 10 лет Павлику исполнилось в прошлом году, в ноябре.

Конечно, такое объяснение сразу не запомнишь, но я постарался понять его на своём примере:

1) 2 X 100 = 200; 2) 200 + 6 = 206; 3) 206 X 2 = 412;

4) 412 + 2 = 414; 5) 414 X 5 = 2070; 6) 2070 + 1 = 2071; 7) 2071 X 10 = 20710; 8) 20710 + 1 = 20711; 9) 20711 + + 10 = 20721; 20721 - 111 = 2"ОбТО; 1959 - 10 = 1949;

Головоломка.

Первая задача: В полдень из Сталинграда в Куйбышев выходит пассажирский пароход. Часом позже из Куйбышева в Сталинград выходит товаро-пассажирский пароход, который движется медленнее первого парохода. Когда пароходы встретятся, то какой из них будет дальше от Сталинграда?

Это не обычная арифметическая задача, а шутка! Пароходы будут на одинаковом расстоянии от Сталинграда, а также и от Куйбышева.

А вот вторая задача, В прошлое воскресенье наш отряд и отряд пятого класса сажали деревья вдоль Большой Пионерской улицы. Отряды должны были посадить поровну деревьев, по равному количеству на каждой стороне улицы. Как вы помните, наш отряд пришёл на работу пораньше, и до прихода пятиклассников мы успели посадить 8 деревьев, но, как оказалось, не на своей стороне улицы: мы погорячились и начали работу не там, где было нужно. Потом мы работали уже на своей стороне улицы. Пятиклассники закончили работу раньше. Однако они не остались в долгу перед нами: перешли на нашу сторону и посадили сначала 8 деревьев («отдали долг»), а затем ещё 5 деревьев, и работа нами была закончена.

Спрашивается, на сколько деревьев больше посадили пятиклассники, чем мы?

: Конечно, пятиклассники посадили только на 5 деревьев больше, чем мы: когда они посадили на нашей стороне 8 деревьев, то тем самым отдали долг; а когда они посадили ещё 5 деревьев, то как бы дали нам взаймы 5 деревьев. Вот и выходит, что они посадили только на 5 деревьев больше, чем мы.

Нет рассуждение неправильное. Верно, что пятиклассники сделали нам одолжение, посадив за нас 5 деревьев. Но дальше, чтобы получить верный ответ, надо рассуждать так: мы недовыполнили своё задание на 5 деревьев, пятиклассники же перевыполнили своё на 5 деревьев. Вот и выходит, что разница между числом деревьев, посаженных пятиклассниками, и числом деревьев, посаженных нами, составляет не 5, а 10 деревьев!

А вот последняя задача-головоломка, Играя в мяч, 16 учеников разместились по сторонам квадратной площадки так, что на каждой стороне было по 4 человека. Затем 2 ученика ушли Остальные переместились так, что на каждой стороне квадрата снова оказалось по 4 человека. Наконец, ушли ещё 2 ученика, но остальные разместились так, что на каждой стороне квадрата по-прежнему было по 4 человека. Как это могло получиться?Решите.

Два приёма быстрого умножении

Однажды учитель предложил своим ученикам такой пример: 84 X 84. Один мальчик быстро ответил: 7056. «Как ты считал?» - спросил ученика учитель. - «Я взял 50 X 144 и выкинул 144», - ответил тот. Ну-ка, объясним как считал ученик.

84 х 84 = 7 X 12 X 7 X 12 = 7 X 7 X 12 X 12 = 49 X 144 = (50 - 1) X 144 = 50 X 144 - 144, а 144 полусотни - это 72 сотни, значит, 84 X 84 = 7200 - 144 =

А теперь сосчитаем тем же способом, сколько будет 56 X 56.

56 X 56 = 7 X 8 X 7 X 8 = 49 X 64 = 50 X 64 - 64, то есть 64 полусотни, или же 32 сотни (3200), без 64 т. е. чтобы умножить число на 49, нужно данное число умножить на 50 (полсотни), и из полученного произведения вычесть данное число.

А вот примеры на другой способ вычисления, 92 X 96, 94 X 98.

Ответы: 8832 и 9212. Пример, 93 X 95. Ответ: 8835. Наши вычисления дали это же число.

Так быстро можно считать только тогда, когда числа близки к 100. Находим дополнения до 100 к данным числам: для 93 будет 7, а для 95 будет 5, от первого данного числа отнимаем дополнение второго: 93 - 5 = 88 - столько будет в произведении сотен,перемножаем дополнения: 7 X 5 = 3 5 - столько будет в произведении единиц. Значит, 93 X 95 = 8835. А почему именно так надо делать, объяснить не трудно.

Например, 93 - это 100 без 7, а 95 - это 100 без 5. 95 X 93 = (100 - 5) х 93 = 93 X 100 - 93 х 5.

Чтобы отнять 5 раз по 93, можно 5 раз отнять по 100, но зато прибавить 5 раз по 7. Тогда получается:

95 х 93 = 93 х 100 - 5 х 100 + 5 х 7 = 93 сот. - 5 сот. + 5 X 7 = (93 - 5) сот. + 5 x 7 = 8800 + 35= = 8835.

97 X 94 = (97 - 6) X 100 + 3 X 6 = 9100 + 18 = 9118, 91 X 95 = (91 - 5) х 100 + 9 х 5 = 8600 + 45 = 8645.

Умножение в. домино.

При помощи костей домино легко изобразить некоторые случаи умножения многозначных чисел на однозначное число. Например:

402 Х 3 и 2663 Х 4

Победителем будет признан тот, кто за определенное время сумеет использовать наибольшее число костей домино, составляя примеры на умножение трёх-, четырёхзначных чисел на однозначное число.

Примеры на умножение четырёхзначных чисел на однозначное.

2234 Х 6 ; 2425 Х 6 ; 2336 Х 1; 526 Х 6.

Как видно, использовано лишь 20 костей домино. Составлены примеры на умножение не только четырёхзначных чисел на однозначное число, но и трёх-, и пяти-, и шестизначных чисел на однозначное число. Использовано 25 костей и составлены такие примеры:

Однако все 28 костей всё-таки можно использовать.

Рассказы о том, хорошо ли знал арифметику старик Хоттабыч.

Рассказ « Я получаю по арифметике «5»».

Как только на следующий день я зашёл к Мише, он сразу же спросил: «Что нового, интересного было на занятии кружка?» Я показал Мише и его друзьям, как умно жали в старину русские люди. Затем я предложил им в уме сосчитать, сколько будет 97 X 95, 42 X 42 и 98 X 93. Они, конечно, без карандаша и бумаги не смогли этого сделать и очень удивились, когда я почти мгновенно дал на эти примеры правильные ответы. Наконец, мы все вместе решили данную на дом задачу. Оказывается, очень важно, как расположены точки на листе бумаги. В зависимости от этого можно через четыре точки провести и одну, и четыре, и шесть прямых линий, но не больше.

Затем я предложил ребятам составить примеры на умножение из костей домино так, как это делалось на кружке. Нам удалось использовать по 20, по 24 и даже по 27 костей, но из в с е х 28 мы так и не смогли составить примеры, хотя просидели за-этим занятием долго.

Миша вспомнил, что сегодня в кинотеатре демонстрируется кинофильм «Старик Хоттабыч». Мы побыстрее закончили заниматься арифметикой и побежали в кино.

Вот это картина! Хоть и сказка, а всё равно интересно: рассказывается о нас, мальчишках, о школьной жизни, а также о чудаковатом мудреце - джине Хоттабыче. А здорово напутал Хоттабыч, подсказывая Вольке по географии! Как видно, в давно прошедшие времена даже мудрецы индийские - джины - очень-очень плохо знали географию, i Интересно, а как стал «бы подсказывать старик Хоттабыч, если бы Волька сдавал экзамен по арифметике? Вероятно, Хоттабыч и арифметику-то как следует не знал.

Индийский способ умножения.

Пусть нужно умнвжить 468 на 7. Слева пишем множимое, справа множитель:

У индийцев не было знака умножения.

Теперь я 4 умножаем на 7, получится 28. Это число записываем надцифрой 4.

Теперь 8 умножаем на 7, получится 56. 5 прибавлем к 28, получится 33; 28 сотрем, а 33 запишем, 6 запишем над цифрой 8:

Получалось весьма интересно.

Теперь 6 умножаем на 7, получится 42, 4 прибавлем к 36, получится 40; 36 сотрем, а 40 запишем; 2 же запишем над цифрой 6. Итак, 486 умножить на 7, получится 3402:

Верно решено, но только не чень-то быстро и удобно!Так именно умножали знаменитейшие в то время вычислители.

Как видите, старик Хоттабыч арифметику знал совсем не плохо. Однако запись действий он производил не так, как это делаем мы.

Давно-давно, более тысячи трёхсот лет тому назад, индийцы были лучшими вычислителями. Однако они не имели ещё бумаги, и все вычисления производили на небольшой чёрной доске, делая на ней записи тростниковым пером и применяя очень жидкую белую краску, которая оставляла знаки, легко стиравшиеся.

Когда мы пишем мелом на доске, то это немного напоминает индийский способ записи: на чёрном фоне появляются белые знаки, которые легко стирать и исправлять.

Индийцы производили вычисления также и на белой дощечке, посыпанной красным порошком, на которой они писали знаки маленькой палочкой, так что появлялись белые знаки на красном поле. Примерно такая же картина получается, когда мы пишем мелом на красной или коричневой доске - линолеуме.

Знака умножения в то время ещё не существовало, и между множимым и множителем оставлялся лишь Некоторый промежуток. Индийским способом можно было бы умножать, начиная и с единиц. Однако сами индийцы умножение выполняли начиная со старшего разряда, и записывали неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу был виден старший разряд полного произведения и, кроме того, исключался пропуск какой-либо цифры.

Пример умножения индийским способом.

Арабский способ умножения.

Ну, а как же, в самом дате, выполнять умножение индийским способом, если записывать на бумаге?.

Этот приём умножения для записи на бумаге приспособили арабы,Знаменитый учёный древности узбек Мухаммед ибн Муса Альхвариз-ми (Мухаммед сын Мусы из Хорезма- города, который был расположен на территории современной Узбекской ССР) более тысячи лет тому назад выполнял умножение на пергаменте так:

Как видно, он не стирал ненужные цифры (на бумаге это делать уже неудобно), а вычёркивал их; новые же цифры он записывал над зачёркнутыми, разумеется, поразрядно.

Пример умножения таким же способом, делая записи в тетради.

Значит, 7264 X 8 = 58112. А как же умножать на двузначное число, на многозначное?.

Приём умножения остается тот же, однако запись при этом значительно усложняется. Например, нужно умножить 746 на 64. Сначала умножали на 3 десятка, получалось

Значит, 746 X 34 = 25364.

Как видите, вычёркивание ненужных цифр и замена их новыми цифрами при умножении даже на двузначное число приводит к слишком громоздкой записи. А что будет, если умножать на трёх-, четырёхзначное число?!

Да, арабский способ умножения не очень удобно.

Этот способ умножения держался в Европе вплоть до восемнадцатого века, целых тысячу лет. Он назывался способам крестика, или хиазмом, так как между перемножаемыми числами ставилась греческая буква X (хи), постепенно заменённая косым крестом. Вот теперь мы хорошо видим, что наш современный способ умножения является самым простым и удобным, наверное наилучшим из всех возможных способов умножения.

Да, сам наш школьный способ умножения многозначных чисел является очень хорошим. Однако запись умножения можно делать и по-другому. Пожалуй, лучше всего было бы это делать, например, так:

Такой способ и в самом деле хорош: умножение начинается со старшего разряда множителя, низший разряд неполных произведений записывается под соответствующим разрядом множителя, чем устраняется возможность ошибки в том случае, когда в каком-либо разряде множителя встречается нуль. Примерно так записывают умножение многозначных чисел чехословацкие школьники. Вот интересно. А мы-то думали, что арифметические действия можно записывать только так, как это принято у нас.

Ещё несколько головоломок.

Вот вам первая, простенькая задача: Турист может пройти за час 5 км. Сколько километров он пройдёт за 100 часов?

Ответ:500 километров.

А это ещё большой вопрос! Надо знать более точно, как турист шёл эти 100 часов: без отдыха или с передышками. Иначе говоря, надо знать: 100 часов - это время движения туриста или же просто время его пребывания в пути. Быть в движении подряд 100 часов человек, наверное, не в состоянии: это же больше четырёх суток; да и скорость движения при этом всё время уменьшалась бы. Другое дело, если турист шёл с передышками на обед, на сон и т. д. Тогда он за 100 часов движения может пройти и все 500 км; только в пути он должен быть уже не четверо суток, а примерно суток двенадцать (если будет проходить за день в среднем 40 км). Если же он в пути был 100 часов, то мог пройти примерно лишь 160- 180 км.

Разные ответы. Значит в условие задачи надо кое-что добавить, иначе ответ дать невозможно.

Решим теперь такую задачу:10 цыплят в 10 дней съедают 1 кг зерна. Сколько килограммов зерна съедят 100 цыплят в 100 дней?

Решение:10 цыплят в 10 дней съедают 1 кг зерна, значит, 1 цыплёнок за те же 10 дней съедаете 10 раз меньше, то есть 1000 г: 10 = 100 г.

В один день цыплёнок съедает ещё в 10 раз меньше, то есть 100 г: 10 = 10 г. Теперь мы знаем, что 1 цыплёнок в 1 день съедает 10 г зерна. Значит, 100 цыплят в день съедают в 100 раз больше, то есть

10 г X 100 = 1000 г = 1 кг. В 100 же дней они съедят ещё в 100 раз больше, то есть 1 кг X 100 = 100 кг = 1 ц. Значит, 100 цыплят в 100 дней съедают целый центнер зерна.

Есть решение более быстрое: цыплят больше в 10 раз и кормить надо дольше в 10 раз, значит, всего зерна надо больше в 100 раз, то есть 100 кг. Однако во всех этих рассуждениях есть одно упущение. Подумаем и найдем ошибку в рассуждениях.

: -Обратим внимание на последнее рассуждение: «100 цыплят в один день съедают 1 кг зерна, а за 100 дней они съедят в 100 раз больше. »

Ведь за 100 дней (это же более трёх месяцев!) цыплята заметно подрастут и в день будут съедать уже не по 10 г зерна, а граммов по 40 - 50, так как обыкновенная курица в день съедает примерно 100 г зерна. Значит, за 100 дней 100 цыплят съедят не 1 ц зерна, а значительно больше: центнера два-три.

А вот вам последняя задача-головоломка о завязывании узла: « На столе лежит кусок верёвки, вытянутый по прямой. Надо взять его одной рукой за один, другой рукой за другой конец и, не выпуская концов верёвки из рук, завязать узел. » Известное дело, одни задачи легко разбирать, идя от данных к вопросу задачи, а другие, наоборот, идя от вопроса задачи к данным.

Ну, вот мы и попытались разобрать эту задачу, идя от вопроса к данным. Пусть узел на верёвке уже имеется, а концы её находятся в руках и не выпускаются. Попытаемся от решённой задачи вернуться к её данным, к исходному положению: верёвка лежит, вытянутая на столе, и концы её не выпускаются из рук.

Оказывается, что если выправить верёвку, не выпуская концов её из рук, то левая рука, идя под вытянутой верёвкой и над правой рукой, держит правый конец верёвки; а правая рука, идя над верёвкой и под левой рукой, держит левый конец верёвки

Думаю после такого разбора задачи всем стало ясно, как завязать узел на верёвке, надо проделать всё в обратном порядке.

Ещё два приёма быстрого умножения.

Я покажу вам, как быстро умножать такие числа, как например 24 и 26, 63 и 67, 84 и 86 ит. п. , то есть когда в сомножителях десятк"ов поровну, а единицы составляют вместе ровно 10. Задавайте примеры.

* 34 и 36, 53 и 57, 72 и 78,

* Получится 1224, 3021, 5616.

Например, надо 53 умножить на 57. Я 5 умножаю на 6 (на 1 больше, чем 5), получается 30 - столько сотен в произведении; 3 умножаю на 7, получается 21 - столько единиц в произведении. Значит, 53 X 57 = 3021.

* А как это объяснить?

(50 + 3) X 57 = 50 X 57 + 3 X 57 = 50 X (50 + 7) +3 X (50 + 7) = 50 X 50 + 7 X 50 + 3 х 50 + 3 X 7 = 2500 + + 50 X (7 + 3) + 3 X 7 = 2500 + 50 X 10 + 3 X 7 = =: 25 сот. + 5 сот. +3 X 7 = 30 сот. + 3 X 7 = 5 X 6 сот. + 21.

Посмотрим, как можно быстро перемножать двузначные числа в пределах 20. Например, чтобы умножить 14 на 17, надо сложить единицы 4 и 7, получится 11 -столько будет десятков в произведении (то есть 10 единиц). Затем надо 4 умножить на 7, получится 28 - столько будет единиц в произведении. Кроме того, к полученным числам 110 и 28 надо прибавить ещё ровно 100. Значит, 14 X 17 = 100 + 110 + 28 = 238. В самом деле:

14 X 17 = 14 X (10 + 7) = 14 X 10 + 14 X 7 = (10 + + 4) X 10 + (10 + 4) X 7 = 10 X 10 + 4 X 10 + 10 X 7 + 4 X 7 = 100 +(4 + 7) X 10 + 4 X 7 = 100+ 110 + + 28.

После этого мы решили ещё такие примеры: 13 х 16 = 100 + (3 + 6) X 10 + 3 х 6 = 100 + 90 + + 18 = 208; 14 X 18 = 100 + 120 + 32 = 252.

Умножение на счётах

Вот несколько приемов, пользуясь которыми всякий умеющий быстро складывать на счётах сможет проворно выполнять встречающиеся на практике примеры у м н о ж е н и я.

Умножение на 2 и на 3 заменяется двукратным и троекратным сложением.

При умножении на 4 умножают сначала на 2 и складывают этот результат с самим собой.

Умножение числа на 5 выполняется на счётах так: переносят все число одной проволокой выше, то есть умножают его на 10, а затем делят это 10-кратное число пополам (как делить на 2 с помощью счётов.

Вместо умножения на 6 умножают на 5 и прибавляют умножаемое.

Вместо умножения на 7, умножают на 10 и отнимают умножаемое три раза.

Умножение на 8 заменяют умножением на 10 минус два умножаемых.

Точно так же умножают на 9: заменяют умножением на 10 минус одно умножаемое.

При умножении на 10 переносят, как мы уже сказали, все числа одной проволокой выше.

Читатель, вероятно, уже сам сообразит, как надо поступать при умножении на числа, большие 10, и какого рода замены тут окажутся наиболее удобными. Множитель 11 надо, конечно, заменить на 10 + 1. Множитель 12 заменяют на 10 + 2 или практически- на 2+10, т. е. сначала откладывают удвоенное число, а затем прибавляют удесятеренное. Множитель 13 заменяется на 10 + 3 и т. д.

Рассмотрим несколько особых случаев для множителей первой сотни:

Легко видеть, между прочим, что с помощью счётов очень удобно умножать на такие числа, как на 22, 33, 44, 55 и т. п. ; поэтому надо стремиться при разбивке множителей пользоваться подобными числами с одинаковыми цифрами.

К сходным приемам прибегают и при умножении на числа, большие 100. Если подобные искусственные приемы утомительны, то мы всегда, конечно, можем умножить с помощью счётов по общему правилу, умножая каждую цифру множителя и записывая частные произведения - это все же дает некоторое сокращение времени.

„Русский" способ умножения

Вы не можете выполнить умножения многозначных чисел,- хотя бы даже двузначных,- если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, т. е. того, что называется таблицей умножения. В старинной «Арифметике» Магницкого, о которой мы уже упоминали, необходимость твердого знания таблицы умножения воспета в таких (чуждых для современного слуха) стихах:

Аще кто не твердитъ таблицы и гордитъ, Не можетъ познати числомъ что множати

И по все науки несвободъ от муки, Колико не учитъ туне ся удручитъ

И в пользу не будетъ аще ю забудетъ.

Автор этих стихов, очевидно, не знал или упустил из виду, что существует способ перемножать числа и без знания таблицы умножения. Способ этот, похожий на наши школьные приемы, употреблен был в обиходе русских крестьян и унаследован ими от глубокой древности.

Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Вот пример:

Деление пополам продолжают до тех пор), пека в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Нетрудна понять, на чем этот способ основан: произведение не измен я-ется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой - вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате мното-кратного повторения этой операции получается искомое произведение.

Однако как поступить, если при этом нрих. одится делить пополам число нечетное?

Народный способ легко выходит из этого затруднения. Надо, гласит правило, в случае нечетного числа о ткинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к поел еднему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против н е ч е т н ы х чисел левого столбца- сумма и будет искомы? л произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число.

Приведем пример (звездочки указывают, что данную строку надо зачеркнуть):

Сложив не зачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат: 17 + 34 + 272 = 32 На чем основан этот прием?

Правильность приема станет ясна, если принять во внимание, что

19Х 17 = (18+ 1)Х 17= 18X17+17, 9Х34 = (8 + 1)Х34=; 8Х34 + 34 и т. д.

Ясно, что числа 17, 34 и т. п. , утрачиваемые при делении нечетного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение.

Примеры ускоренного умножения

Мы упоминали раньше, что для выполнения тех отдельных действий умножения, на которые распадается каждый из указанных выше приемов, существуют также удобные способы. Некоторые из них весьма несложны и удобно применимы они настолько облегчают вычисления, что не мешает вообще запомнить их, чтобы пользоваться при обычных расчетах.

Таков, например, прием перекрестного умножения, весьма удобный при действии с двузначными числами. Способ не нов; он восходит к грекам и индусам и в старину назывался «способом молнии», или «умножением крестиком». Теперь он забыт, и о нем не мешает напомнить1.

Пусть требуется перемножить 24X32. Мысленно располагаем число по следующей схеме, одно под другим:

Теперь последовательно производим следующие действия:

1)4X2 = 8 - это последняя цифра результата.

2)2X2 = 4; 4X3=12; 4+12=16; 6 - предпоследняя цифра результата; 1 запоминаем.

3)2X3 = 6, да еще удержанная в уме единица, имеем

7- это первая цифра результата.

Получаем все цифры произведения: 7, 6, 8 -- 768.

После непродолжительного упражнения прием этот усваивается очень легко.

Другой способ, состоящий в употреблении так называемых „дополнений", удобно применяется в тех случаях, когда перемножаемые числа близки к 100.

Предположим, что требуется перемножить 92X96. „Дополнение" для 92 до 100 будет 8, для 96 - 4. Действие производят по следующей схеме: множители: 92 и 96 „дополнения": 8 и 4.

Первые две цифры результата получаются простым вычитанием из множителя „дополнения" множимого или наоборот; т. е. из 92 вычитают 4 или из 96 вычитают 8.

8том и другом случае имеем 88; к этому числу приписывают произведение „дополнений": 8X4 = 32. Получаем результат 8832.

Что полученный результат должен быть верен, наглядно видно из следующих преобразований:

92х9б= 88X96 = 88(100-4) = 88 X 100-88X4

1 4X96= 4 (88 + 8)= 4Х 8 + 88X4 92х96 8832+0

Еще пример. Требуется перемножить 78 на 77: множители: 78 и 77 „дополнения": 22 и 23.

78 - 23 = 55, 22 X 23 = 506 , 5500 + 506 = 6006.

Третий пример. Перемножить 99 X 9.

множители: 99 и 98 „дополнения": 1 и 2.

99-2 = 97, 1X2= 2.

В данном случае надо помнить, что 97 означает здесь число сотен. Поэтому складываем.

опубликовано 20.04.2012
Посвящается Елене Петровне Каринской ,
моему школьному преподавателю математики и классному руководителю
Алма-Ата, РОФМШ , 1984–1987 год
«Наука только тогда достигает совершенства, когда ей удаётся пользоваться математикой» . Карл Генрих Маркс
эти слова были начертаны над доской в нашем кабинете математики;-)
Уроки информатики (лекционные материалы и практикумы)

Что такое умножение?
Это действие сложения.
Но не слишком-то приятное,
Потому что мно-го-крат-ное…
Тим Собакин

Попытаемся сделать это действие
приятным и увлекательным;-)

СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ БЕЗ ТАБЛИЦЫ УМНОЖЕНИЯ (гимнастика для ума)

Предлагаю читателям зелёных страничек два способа умножения, в которых не используется таблица умножения;-) Надеюсь, что этот материал придётся по душе преподавателям информатики, который они могут использовать при проведении факультативных занятий.

Способ этот, был употребителен в обиходе русских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа, таблица умножения в этом деле без надобности:-)

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, при этом параллельно удваивают другое число. Последнее удвоенное число и даёт искомый результат (рисунок 1). Нетрудно понять, на чём этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение.

Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам нечётное число ? В этом случае от нечётного числа откидываем единицу и делим остаток пополам, при этом к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечётных чисел левого столбца – сумма и будет искомым произведением (рисунки: 2, 3).
Иными словами все строки с чётными левыми числами зачёркиваем; оставляем, а затем суммируем не зачёркнутые числа правого столбца.

Для рисунка 2: 192 + 48 + 12 = 252
Правильность приёма станет ясна, если принять во внимание, что:
5 × 48 = (4 + 1) × 48 = 4 × 48 + 48
21 × 12 = (20 + 1) × 12 = 20 × 12 + 12
Ясно, что числа 48 , 12 , утрачиваемые при делении нечётного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение.
Русский способ умножения и элегантен и экстравагантен одновременно;-)

§ Логическая задачка о Змее Горыныче и прославленных русских богатырях на зелёной страничке «Кто из богатырей победил Змея Горыныча?»
решение логических задач средствами алгебры логики
Для тех, кто любит учиться! Для тех, кому в радость гимнастика для ума ;-)
§ Решение логических задач табличным способом

Продолжаем разговор:-)

Китайский??? Рисовательный способ умножения

С этим способом умножения меня познакомил сын, предоставив в моё распоряжение несколько листочков из блокнота с готовыми решениями в виде замысловатых рисунков. Закипел процесс расшифровки алгоритма рисовательного способа умножения:-) Для наглядности решила прибегнуть к помощи цветных карандашей, и… лёд тронулся господа присяжные:-)
Предлагаю Вашему вниманию три примера в цветных картинках (в правом верхнем углу проверочный столбик ).

Пример №1 : 12 × 321 = 3852
Рисуем первое число сверху вниз, слева на право: одна зелёненькая палочка (1 ); две оранжевых палочки (2 ). 12 нарисовали:-)
Рисуем второе число снизу вверх, слева на право: три голубеньких палочки (3 ); две красненькие (2 ); одну сиреневенькую (1 ). 321 нарисовали:-)

Теперь простым карандашиком по рисунку прогуляемся, точечки пересечения чисел-палочек на части разделим и приступим к подсчёту точечек. Двигаемся справа налево (по часовой стрелке): 2 , 5 , 8 , 3 . Число-результат будем «собирать» слева направо (против часовой стрелки) и… вуаля, получили 3852 :-)

Пример №2 : 24 × 34 = 816
В этом примере есть нюансы;-) При подсчёте точечек в первой части получилось 16 . Единичку отправляем-прибавляем к точечкам второй части (20 + 1 )…

Пример №3 : 215 × 741 = 159315
Без комментариев:-)

На первых порах показался мне несколько вычурным, но при этом интригующим и удивительно гармоничным. На пятом примере поймала себя на мысли, что умножение идёт в лёт:-) и работает в режиме автопилота : рисуем, точечки считаем, про таблицу умножения не вспоминаем, вроде как мы её вообще не знаем:-)))

Если честно, то осуществляя проверку рисовательного способа умножения и обратившись к умножению столбиком, и не раз, и не два к своему стыду отметила некоторые притормаживания, свидетельствовавшие о том, что таблица умножения у меня проржавела в некоторых местах:-(и забывать её таки не стоит. При работе с более «серьёзными» числами рисовательный способ умножения стал чересчур громоздким, а умножение столбиком пошло в радость.

Таблица умножения (эскиз тыльной стороны блокнота)

P.S. : Слава и хвала родному советскому столбику!
В плане построения способ непритязательный и компактный, очень даже скоростной, память тренирует – таблицу умножения забывать не дозволяет:-) И посему, настоятельно рекомендую и себе и Вам по возможности забывать про калькуляторы в телефонах и на компьютерах;-) и периодически баловать себя умножением столбиком. А то не ровен час и сюжет из фильма «Восстание машин» развернётся не на экране кинотеатра, а на нашей с Вами кухне или лужайке рядом с домом…
Три раза через левое плечо…, стучим по дереву… :-))) …и главное не забываем про гимнастику для ума!

Для любознательных : Умножение обозначается знаком [ × ] или [ · ]
Знак [ × ] ввёл английский математик Уильям Оутред в 1631 году.
Знак [ · ] ввёл немецкий учёный Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1698 году.
В буквенном обозначении эти знаки упускаются и вместо a × b или a · b пишут ab .

В копилочку веб-мастера : Некоторые математические символы на HTML

МБОУ «СОШ с. Вольное» Харабалинский район Астраханская область

Проект на тему:

« Необычные способы умножен ия »

Работу выполнили:

ученики 5 класса :

Тулешева Амина,

Султанов Самат,

Куянгузова Расита.

Р уководитель проекта :

учитель математики

Фатеева Т.В.

Вольное 201 6 год .

«Все есть число» Пифагор

Введение

В 21 веке невозможно представить себе жизнь человека, не производящего вычислений: это и продавцы, и бухгалтера, и обыкновенные школьники.

Изучение почти любого предмета в школе предполагает хорошие знания математики, и без нее нельзя освоить эти предметы. Две стихии господствуют в математике - числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и действий с ними.

Нам захотелось больше узнать об истории возникновения математических действий. Сейчас, когда стремительно развивается вычислительная техника, многие не хотят утруждать себя счётом в уме. Поэтому мы решили показать не только то, что сам процесс выполнения действий может быть интересным, но и что, хорошо усвоив приёмы быстрого счёта, можно поспорить с ЭВМ.

Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приёмов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.

Цель работы:

И зучить некоторые нестандартные приёмы умножения и показать, что их применение делает процесс вычисления рациональным и интересным и для вычисления которыми, достаточно устного счета или применения карандаша, ручки и бумаги.

Гипотеза:

Е сли наши предки умели умножать старинными способами, то если изучив по данной проблеме литературу, сможет ли современный школьник этому научиться, или нужны какие-то сверхъестественные способности.

Задачи:

1. Найти необычные способы умножения.

2. Научиться их применять.

3. Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.

4. Научить одноклассников применять новы е способ ы умножения.

Объект исследования : математическое действие умножение

Предмет исследования : способы умножения

Методы исследования:

Поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;

Исследовательский метод при определении способов умножения;

Практический метод при решении примеров;

- - анкетирование респондентов о знании нестандартных способов умножения.

Историческая справка

Встречаются люди с необыкновенными способностями, которые по быстроте устных вычислений могут состязаться с ЭВМ. Их называют «чудо - счётчиками». И таких людей немало.

Рассказывают, что отец Гаусса, рассчитываясь со своими рабочими в конце недели, прибавлял оплату к каждому дневному заработку за сверхурочные часы. Однажды после того как Гаусс-отец закончил расчёты, следивший за операциями отца ребёнок, которому было 3 года, воскликнул: «Папа, подсчёт не верен! Вот такая должна быть сумма!» Вычисления повторили и с удивлением убедились, что мальчик указал правильную сумму.

В России в начале XX века блистал своими умениями «волшебник вычислений» Роман Семенович Левитан, известный под псевдонимом Арраго. Уникальные способности стали проявляться у мальчика уже в раннем возрасте. За несколько секунд он возводил в квадрат и куб десятизначные числа, извлекал корни разной степени. Казалось, всё это он делал с необычайной легкостью. Но эта легкость была обманчива и требовала большой работы мозга.

В 2007 году Марк Вишня, которому тогда было 2,5 года, поразил всю страну своими интеллектуальными способностями. Юный участник шоу «Минута славы» без труда считал в уме многозначные числа, опережая при вычислениях родителей и жюри, которые пользовались калькуляторами. Уже в два года он освоил таблицу косинусов и синусов, а также некоторые логарифмы.

В институте кибернетики Украинской академии наук проводились соревнования ЭВМ и человека. В соревновании участвовал молодой счётчик-феномен Игорь Шелушков и ЗВМ «Мир». Машина за несколько секунд сделала множество сложных операций, но победителем оказался Игорь Шелушков.

В Сиднейском университете в Индии тоже проходили соревнования человека и машины. Шакунтала Деви тоже опередила ЭВМ.

Большинство таких людей обладает прекрасной памятью и имеют дарование. Но некоторые из них никакими особыми способностями к математике не обладают. Они знают секрет! А секрет этот в том, что они усвоили приёмы быстрого счёта, запомнили несколько специальных формул. Значит, и мы тоже можем, пользуясь этими приёмами, быстро и точно считать.

Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.

Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия.

Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления - приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».

И все эти приемы умножения - «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.

Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.

Древнерусский способ умножения на пальцах

Это один из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы.

Принцип этого способа: умножение на пальцах однозначных чисел от 6 до 9. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.

Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались.

Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет загнуто 2 и 3 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев (2+3=5) и перемножить количества не загнутых (2 3=6), то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения 56 . Так можно вычислять произведение любых однозначных чисел больше 5.

Очень легко воспроизводится "на пальцах" умножение для числа 9

Ра зведи те пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки. Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа - количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа - 4 пальца. Таким образом, 9·6=54.

Умножение на 9 с помощью клеток тетради

Возьмём, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа - 2 клеточки. Значит, 9·8=72. Все очень просто!

7 2

Способ умножения «Маленький замок»

Преимущество способа умножения «Маленький замок» в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно, если требуется быстро оценить величину. Цифры верхнего числа, начиная со старшего разряда, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей. Затем результаты складываются.

«Решётчатое умножение»

Сначала рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя.

Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи . Такие ставни вешались на окна венецианских домов…»

«Русский крестьянский способ»

В России среди крестьян был распространен способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Здесь необходимо лишь умение умножать и делить числа на 2.

Напишем одно число слева, а другое справа на одной строке. Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2 и результаты записывать в столбик.

Если при делении возник остаток, то его отбрасывают. Умножение и деление на 2 продолжают до тех пор, пока слева не останется 1.

Затем вычеркиваем те строчки из столбика, в которых слева стоят четные числа. Теперь сложим оставшиеся числа в правом столбце.

Этот способ умножения гораздо проще рассмотренных ранее способов умножения. Но он также очень громоздкий.

«Умножение крестиком»

Древние греки и индусы в старину называли прием перекрестного умножения «способом молнии» или «умножение крестиком».

24 и 32

2 4

3 2

4x2=8 - последняя цифра результата;

2x2=4; 4x3=12; 4+12=16 ; 6 - предпоследняя цифра результата, единицу запоминаем;

2x3=6 да ещё удержанная в уме цифра, имеем 7- это первая цифра результата.

Получаем все цифры произведения: 7,6,8. Ответ: 768.

Индийский способ умножения

546 7

5 7=35 35

350+ 4 7=378 378

3780 + 6 7=3822 3822

546 7= 3822

Основа этого способа заключается в идее, что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни или тысячи, в зависимости от того, какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в случае отсутствия каких – нибудь разрядов, определяется нулями, приписываемыми к цифрам.

У множение начинаем со старшего разряда, и записываем неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу виден старший разряд полного произведения и, кроме того, исключается пропуск какой-либо цифры. Знак умножения еще не был известен, поэтому между множителями оставляли небольшое расстояние

Китайский (рисовательный) способ умножения

Пример №1 : 12 × 321 = 3852
Рисуем первое число сверху вниз, слева на право: одна зелёненькая палочка (1 ); две оранжевых палочки (2 ). 12 нарисовали
Рисуем второе число снизу вверх, слева на право: три голубеньких палочки (3 ); две красненькие (2 ); одну сиреневенькую (1 ). 321 нарисовали

Теперь простым карандашиком по рисунку прогуляемся, точки пересечения чисел-палочек на части разделим и приступим к подсчёту точек. Двигаемся справа налево (по часовой стрелке): 2 , 5 , 8 , 3 . Число-результат будем «собирать» слева направо (против часовой стрелки) получили 3852

Пример №2 : 24 × 34 = 816
В этом примере есть нюансы;-) При подсчёте точек в первой части получилось 16 . Единичку отправляем-прибавляем к точкам второй части (20 + 1 )…

Пример №3 : 215 × 741 = 159315

В ходе работы над проектом, мы провели анкетирование. Учащиеся ответили на следующие вопросы.

1. Необходимо ли современному человеку устный счёт ?

Да Нет

2. Знаете ли вы другие способы умножения кроме умножения в столбик?

Да Нет

3. Пользуетесь ли вы ими ?

Да Нет

4. Хотели бы вы узнать другие способы умножения ?

Да Нет

Нами были опрошены учащиеся 5-10 классов.

Этот опрос показал, что современные школьники не знают других способов выполнения действий, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

Вывод:

В истории математики есть много интересных событий и открытий, к сожалению не вся эта информация доходит до нас, современных учеников.

Этой работой, мы хотели хоть чуть - чуть заполнить этот пробел и донести до наших сверстников информацию о старинных способах умножения.

В ходе роботы мы узнали о происхождении действия умножения. В старину было не лёгким делом владеть этим действием, тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приема. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения - приемы один другого запутаннее, твердо, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия. Признавалось даже, что для овладения искусством быстрого и безошибочного умножения многозначных чисел нужно особое природное дарование, исключительные способности; рядовым людям премудрость эта недоступна.

Своей работой мы доказали, что наша гипотеза верна, не нужно обладать сверхъестественными способностями, чтобы уметь пользоваться старинными способами умножения. А ещё мы научились подбирать материал, обрабатывать его, то есть выделять главное и систематизировать.

Научившись считать всеми представленными способами, мы пришли к выводу: что самые простые способы это те, которые мы изучаем в школе, а может быть, мы просто к ним привыкли.

Современный способ умножения прост и доступен всем.

Но, думаем, что и наш способ умножения в столбик не является совершенным и можно придумать ещё более быстрые и более надёжные способы.

Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу, выполнять эти или другие подсчёты.

Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Она поможет приобрести полезные навыки устного счёта!

Список литературы

1. Глейзер, Г. И. История математики в школе ⁄ Г. И. Глейзер ⁄⁄ История математики в школе: пособие для учителей ⁄ под редакцией В. Н. Молодшего. – М.: Просвещение, 1964. – С. 376 .

Перельман Я. И. Занимательная арифметика: Загадки и диковинки в мире чисел. – М.: Издательство Русанова, 1994. – С. 142.

Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика /Глав. ред. М. Д. Аксенова. – М.: Авата+, 2003. – С. 130.

Журнал «Математика» №15 2011г.

Интернет-ресурсы.

Некоторые способы быстрого устного умножения мы уже с Вами разобрали, теперь давайте подробнее разберемся, как быстро умножать числа в уме, используя различные вспомогательные способы. Вы, возможно, уже знаете, а некоторые из них довольно экзотические, например, древний китайский способ умножения чисел.

Раскладка по разрядам

Является самым простым приемом быстрого умножения двухзначных чисел. Оба множителя нужно разбить на десятки и единицы, а затем все эти новые числа перемножить друг на друга.

Данный способ требует умения удерживать в памяти одновременно до четырех чисел, и делать с этими числами вычисления.

К примеру, нужно перемножить числа 38 и 56 . Делаем это следующим образом:

38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + 8 * 50 + 30 * 6 + 8 * 6 = 1500 + 400 + 180 + 48 = 2128 Еще проще будет делать устное умножение двухзначных чисел в три действия. Сначала нужно перемножить десятки, затем прибавить два произведения единиц на десятки, и затем прибавить произведение единиц на единицы. Выглядит это так: 38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + (8 * 50 + 30 * 6) + 8 * 6 = 1500 + 580 + 48 = 2128 Для того, чтобы успешно пользоваться этим способом, нужно хорошо знать таблицу умножения, уметь быстро складывать двухзначные и трехзначные числа, и переключаться между математическими действиями, не забывая промежуточные результаты. Последнее умение достигается с помощью и визуализации.

Данный способ не самый быстрый и эффективный, потому стоит изучить еще и другие способы устного умножения.

Подгонка чисел

Можно попробовать привести арифметическое вычисление к более удобному виду. Например, произведение чисел 35 и 49 можно себе представить таким образом: 35 * 49 = (35 * 100) / 2 — 35 = 1715
Этот способ может оказаться более эффективным, чем предыдущий, но он не универсальный, и подходит не ко всем случаям. Не всегда можно найти подходящий алгоритм для упрощения задачи.

На эту тему вспомнился анекдот про то, как математик проплывал по реке мимо фермы, и заявил собеседникам, что ему удалось быстро подсчитать количество овец в загоне, 1358 овец. Когда его спросили, как ему это удалось, он сказал, что все просто — нужно подсчитать количество ног, и разделить на 4.

Визуализация умножения в столбик

Этот один из самых универсальных способов устного умножения чисел, развивающий пространственное воображение и память. Для начала следует научиться умножать в столбик в уме двухзначные числа на однозначные. После этого Вы легко сможете умножать двухзначные числа в три действия. Сначала двухзначное число нужно умножить на десятки другого числа, затем умножить на единицы другого числа, и после этого просуммировать полученные числа.

Выглядит это таким образом: 38 * 56 = (38 * 5) * 10 + 38 * 6 = 1900 + 228 = 2128

Визуализация с расстановкой чисел

Очень интересный способ перемножения двухзначных чисел следующий. Нужно последовательно перемножить цифры в числах, чтобы получились сотни, единицы и десятки.

Допустим, Вам нужно умножить 35 на 49 .

Сначала перемножаете 3 на 4 , получаете 12 , затем 5 и 9 , получаете 45 . Записываете 12 и 5 , с пробелом между ними, а 4 запоминаете.

Получаете: 12 __ 5 (запоминаете 4 ).

Теперь умножаете 3 на 9 , и 5 на 4 , и суммируете: 3 * 9 + 5 * 4 = 27 + 20 = 47 .

Теперь нужно к 47 прибавить 4 , которое мы запомнили. Получаем 51 .

Пишем 1 в середине, а 5 прибавляем к 12 , получаем 17 .

Итого, число, которое мы искали, 1715 , оно является ответом:

35 * 49 = 1715
Попробуйте таким же образом перемножить в уме: 18 * 34, 45 * 91, 31 * 52 .

Китайское, или японское, умножение

В азиатских странах принято умножать числа не в столбик, а рисуя линии. Для восточных культур важно стремление к созерцанию, и визуализации, поэтому, наверное, они и придумали такой красивый метод, позволяющий перемножать любые числа. Сложен этот способ только на первый взгляд. На самом деле, большая наглядность позволяет использовать этот способ гораздо эффективнее, чем умножение в столбик.

Кроме того, знание этого древнего восточного етода повышает Вашу эрудицию. Согласитесь, не каждый может похвастаться тем, что знает древнюю систему умножения, которой китайцы пользовались еще 3000 лет назад.

Видео о том, как китайцы перемножают числа

Более подробные сведения Вы можете получить в разделах "Все курсы" и "Полезности", в которые можно перейти через верхнее меню сайта. В этих разделах статьи сгруппированы по тематикам в блоки, содержащие максимально развернутую (насколько это было возможно) информацию по различным темам.

Также Вы можете подписаться на блог, и узнавать о всех новых статьях.
Это не займет много времени. Просто нажмите на ссылку ниже:

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

“Счёт и вычисления – основа порядка в голове”.
Песталоцци

Цель:

• Познакомиться со старинными приемами умножения.
• Расширить знания по различным приемам умножения.
• Научиться выполнять действия с натуральными числами, используя старинные способы умножения.

1. Старинный способ умножение на 9 на пальцах
2. Умножение методом Ферроля.
3. Японский способ умножения.
4. Итальянский способ умножения (“Сеткой”)
5. Русский способ умножения.
6. Индийский способ умножения.

Ход занятия

Актуальность использования приемов быстрого счета.

В современной жизни каждому человеку часто приходится выполнять огромное количество расчётов и вычислений. Поэтому цель моей работы – показать лёгкие, быстрые и точные методы счёта, которые не только помогут вам во время каких-либо расчётах, но вызовут немалое удивление у знакомых и товарищей, ведь свободное выполнение счётных операций в значительной степени может свидетельствовать о незаурядности вашего интеллекта. Основополагающим элементом вычислительной культуры являются сознательные и прочные вычислительные навыки. Проблема формирования вычислительной культуры актуальна для всего школьного курса математики, начиная с начальных классов, и требует не простого овладения вычислительными навыками, а использования их в различных ситуациях. Владение вычислительными умениями и навыками имеет большое значение для усвоения изучаемого материала, позволяет воспитывать ценные трудовые качества: ответственное отношение к своей работе, умение обнаруживать и исправлять допущенные в работе ошибки, аккуратное исполнение задания, творческое отношение к труду. Однако, в последнее время уровень вычислительных навыков, преобразований выражений имеет ярко выраженную тенденцию к снижению, учащиеся допускают массу ошибок при подсчетах, все чаще используют калькулятор, не мыслят рационально, что отрицательно сказывается на качестве обучения и уровне математических знаний учащихся в целом. Одной из составляющих вычислительной культуры является устный счёт , который имеет большое значение. Умение быстро и правильно произвести несложные вычисления “в уме” необходимо для каждого человека.

Старинные способы умножения чисел.

1. Старинный способ умножение на 9 на пальцах

Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9 x 3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9 x 3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.

2. Умножение методом Ферроля.

Для умножения единиц произведения переумножения перемножают единицы множителей, для получения десятков, умножают десятки одного на единицы другого и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Методом Ферроля легко перемножать устно двухзначные числа от 10 до 20.

Например: 12х14=168

а) 2х4=8, пишем 8

б) 1х4+2х1=6, пишем 6

в) 1х1=1, пишем 1.

3. Японский способ умножения

Такой прием напоминает умножение столбиком, но проводится довольно долго.

Использование приема. Допустим, нам надо умножить 13 на 24. Начертим следующий рисунок:

Этот рисунок состоит из 10 линий (количество может быть любым)

• Эти линии обозначают число 24 (2 линии, отступ, 4 линии)
• А эти линии обозначают число 13 (1 линия, отступ, 3 линии)

(пересечения на рисунке указаны точками)

Количество пересечений:

• Верхний левый край: 2
• Нижний левый край: 6
• Верхний правый: 4
• Нижний правый: 12

1) Пересечения в верхнем левом крае (2) – первое число ответа

2) Сумма пересечений нижнего левого и верхнего правого краев (6+4) – второе число ответа

3) Пересечения в нижнем правом крае (12) – третье число ответа.

Получается: 2; 10; 12.

Т.к. два последних числа – двузначные и мы не можем их записать, то записываем только единицы, а десятки прибавляем к предыдущему.

4. Итальянский способ умножения (“Сеткой”)

В Италии, а также во многих странах Востока, этот способ приобрел большую известность.

Использование приема:

Например, умножим 6827 на 345.

1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел над колонками, а второе по высоте.

2. Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки.

• 6*3 = 18. Записываем 1 и 8
• 8*3 = 24. Записываем 2 и 4

Если при умножении получается однозначное число, записываем вверху 0, а внизу это число.

(Как у нас в примере при умножении 2 на 3 получилось 6. Вверху мы записали 0, а внизу 6)

3. Заполняем всю сетку и складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.

Ответ: 2355315.

5. Русский способ умножения.

Этот прием умножения использовался русскими крестьянами примерно 2-4 века назад, а разработан был еще в глубокой древности. Суть этого способа та:“На сколько мы делим первый множитель, на столько умножаем второй”.Вот пример: Нам нужно 32 умножить на 13. Вот как бы решили этот пример 3-4 века назад наши предки:

• 32 * 13 (32 делим на 2, а 13 умножаем на 2)
• 16 * 26 (16 делим на 2, а 26 умножаем на 2)
• 8 * 52 (и т.д.)
• 4 * 104
• 2 * 208
• 1 * 416 =416

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение

Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное? Народный способ легко выходит из этого затруднения. Надо, - гласит правило, - в случае нечётного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число. Приведем пример (звездочки указывают, что данную строку надо зачеркнуть):

• 19*17
• 4 *68*
• 2 *136*
• 1 *272

Сложив незачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат:

• 17 + 34 + 272 = 323.

Ответ: 323.

6. Индийский способ умножения.

Такой способ умножения использовали в Древней Индии.

Для умножения, например, 793 на 92 напишем одно число как множимое и под ним другое как множитель. Чтобы легче ориентироваться, можно использовать сетку (А) как образец.

Теперь умножаем левую цифру множителя на каждую цифру множимого, то есть, 9х7, 9х9 и 9х3. Полученные произведения пишем в сетку (Б), имея в виду следующие правила:

• Правило 1. Единицы первого произведения следует писать в той же колонке, что и множитель, то есть в данном случае под 9.
• Правило 2. Последующее произведения надо писать таким образом, чтобы единицы помещались в колонке непосредственно справа от предыдущего произведения.

Повторим весь процесс с другими цифрами множителя, следуя тем же правилам (С).

Затем складываем цифры в колонках и получаем ответ: 72956.

Как можно видеть, мы получаем большой список произведений. Индийцы, имевшие большую практику, писали каждую цифру не в соответствующую колонку, а сверху, насколько это было возможно. Затем они складывали цифры в колонках и получали результат.

Заключение

Мы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, “экономическую - ситуацию” в стране, погоду на “завтра”, описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание древнегреческого математика, философа, жившего в 4 веке д. н.э.- Пифагора - “Всё есть число!”.

Согласно философскому воззрению этого учёного и его последователей, числа управляют не только мерой и весом, но также всеми явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса.

Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попытался показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

“Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели”. (А.Маркушевич)

Литература.

1. Энциклопедия для детей. “T.23”. Универсальный энциклопедический словарь \ ред. коллегия: М. Аксёнова, Е.Журавлёва, Д.Люри и др. – М.: Мир энциклопедий Аванта +, Астрель, 2008. – 688 с.
2. Ожегов С. И. Словарь русского языка: ок. 57000 слов/ Под ред. чл. – корр. АНСИР Н.Ю. Шведовой. – 20 – е изд.– М. : Просвещение, 2000. – 1012 с.
3. Xочу всё знать! Большая иллюстрированная энциклопедия интеллекта / Пер. с англ. А. Зыковой, К. Малькова, О.Озёровой. – М.: Изд-во ЭКМО, 2006. – 440 с.
4. Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка 5-6 кл./ О.С.Шейнина, Г.М. Соловьева – М.: Изд-во НЦЭНАС, 2007. – 208 с.
5. Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986.
6. Минских Е. М. “От игры к знаниям”, М., “Просвещение” 1982г.
7. Свечников А. А. Числа, фигуры, задачи М., Просвещение, 1977г.
8. http://matsievsky. newmail. ru/sys-schi/file15.htm
9. http://sch69.narod. ru/mod/1/6506/hystory. html