Правила построения магических квадратов составление магических квадратов. Магические квадраты кхаджурахо, дюрера и золотая пропорция Волшебный квадрат дюрера

БГ, «Гость»

В тот момент, когда ты вошел
В этот мир форм,
Перед тобой поставили
Лестницу для побега.

Ты удивляешь меня - ты, беспокоящийся о том, что я обременяю тебя изучением непрактичных предметов. Данное сомнение свойственно не только посредственным умам - все люди испытывают трудность в понимании того, что путем изучения сих предметов, как с помощью инструментов, мы очищаем око души , мы возжигаем новый огонь в органе, который был скрыт и как бы приглушен тенями других наук. Это око, сохранение которого важнее десяти тысяч других глаз, потому что им, и только им, мы воспринимаем истину .

Платон, «Республика»

Изложенное в этой третьей Части - дань моему многолетнему увлечению древними объектами Знания, которые называют магическими квадратами.

Начну, как принято, с истории вопроса.

Магический квадрат 3 х 3 клетки использовал в своей работе великий суфийский ученый и алхимик Джабир Ибн Хайян. В частности, он использовал квадрат как схему, приводящую в баланс разные элементы и химические вещества. В квадрате Джабира, правда, в соответствии с арабской системой абджад вместо чисел были буквы.

Магический квадрат Джабира

(Дервишеские талисманы, которые нередко можно встретить в Азии, также являются магическими квадратами разного типа, в которых вместо цифр используются арабские буквы. Если они вам попадутся где-нибудь на восточных развалах - вспомните Джабира:).

Ибн Хайян, однако, был далеко не первым, кто использовал магический квадрат - как известно, знание о нем существовало за несколько тысяч лет до нашей эры в Древнем Китае. Китайцы называли магический квадрат Ло-Шу , поскольку, согласно легенде, этот паттерн первопредок Фу-Си увидел на панцире мистической черепахи, появившейся из реки Ло.

Ло-Шу

Магический квадрат включил в свою знаменитую гравюру иезуит и знаток Востока Атанасиус Кирхер, о котором я писала . На гравюре, ставшей обложкой книги Кирхера «Арифмология» («Наука о Числах и Пропорциях»), ангел высоко в небесах держит магический квадрат 3 х 3 с надписью Numero , что на латыни означает «число» или «считать».

В своей книге «Суфии» Идрис Шах приводит магический квадрат в таком виде:

Там же содержится описание математических свойств этой универсальной диаграммы. Они всем известны - сумма цифр квадрата по всем диагоналям, а также горизонтальным и вертикальным рядам равна 15.

Мистическая сущность магического квадрата легче усваивается, если записать его в следующем виде, приняв центральную цифру пять за ноль, точку отсчета:

-1 +4 -3

+3 -4 +1

Подобное представление передает идею системы, все элементы которой, отличаясь друг от друга свойствами, тем не менее в целом находятся в состоянии динамического равновесия (гомеостаза). Что еще более важно, этот символ передает идею Единства - или как сказал бы суфий Джабир, таухид - потому что у него есть единый центр - точка 0. (Чуть ниже мы убедимся, что это может быть и совсем по-другому).

Магический квадрат 3 х 3, которым пользовались древние, есть всего лишь начало, семя огромного семейства магических квадратов. Более сложные магические квадраты можно получить из первоначального семени, наращивая внешние ряды - вот таким образом:

Магический квадрат порядка 5 х 5

-7 +12 -8 -6 +9

-5 -1 +4 -3 +5

+10 -2 0 +2 -10

+11 +3 -4 +1 -11

-9 -12 +8 +6 +7

Магический квадрат порядка 7 х 7

+17 +14 +16 +18 -22 -24 -19

-23 -7 +12 -8 -6 +9 +23

-21 -5 -1 +4 -3 +5 +21

-20 +10 -2 0 +2 -10 +20

+15 +11 +3 -4 +1 -11 -15

+13 -9 -12 +8 +6 +7 -13

+19 -14 -16 -18 +22 +24 -17

И так далее - порядок квадрата можно увеличивать до бесконечности. (Если кому-то захочется продолжить построение магических квадратов, можно использовать вот эту простую программу - идите до конца страницы в раздел Make Squares и следуйте инструкциям).

Но вернемся к основному вопросу темы: почему люди Знания считали магический квадрат таким важным символом? Возможно, в нем они видели принцип мироустройства, а также принцип устройства любой устойчивой системы (включая человека), выраженный через числовые отношения.

Числа в магическом квадрате как бы представляют разные части Вселенной. Каждый объект в космосе имеет свое, присущее только ему, число. Можно принять Галактический Центр за нулевую точку, начало координат. Все другие части, выраженные числами, будут математически связаны с единым центром - точкой 0, от которой идет отсчет, и сбалансированы относительного этого центра. Иначе говоря, если где-то во Вселенной есть объект, свойства которого можно описать числом плюс 888888, то непременно - для баланса - где-то должен существовать и объект числом минус 888888. Если существуют звезды, активно излучающие энергию, то должны существовать и черные дыры, так же активно ее вбирающие.

Или, как сказано в герметической книге Кибалион :

«Все является частью дуальности, и все обладает полярностью. Каждая вещь имеет противоположную ей пару. Противоположности являются равными по природе, но обладают различными знаками. Крайности притягивают друг друга, поэтому всякая истина является лишь одной стороной истины, и все парадоксы имеют примиряющее их решение».

Примиряющее решение для всех противоположных чисел магического квадрата - точка ноль. Она и есть таинственная середина парадокса - никогда не видимая, всегда присутствующая.

Замечательной чертой всех квадратов нечетных порядков будет и свойство подобия (фрактальности): меньшие могут вкладываться в бОльшие, как матрешки, при этом не меняя своих свойств - что мы и видим в вышеприведенных примерах.

Сумма цифр в каждом из вложенных друг в друга, как матрешки, квадратов будет равна нулю. Это означает (на языке чисел) следующее: каждый из квадратов находится в динамическом равновесии и представляет из себя самодостаточную целостность, что не мешает ему при этом быть гармоничной частью чего-то Большего и в точности похожим на это Большее. Сумма чисел по диагонали, вертикали и горизонтали любого квадрата также всегда будет равна нулю, что позволяет соблюдать принцип Единства и принцип динамического равновесия.

Итак, главная черта вышеприведенных квадратов, важность которой трудно преувеличить - свойство единства.

Существует, однако, другое семейство магических квадратов, в которых свойство единства отсутствует .

За пару столетий до Атанасиуса Кирхера в Европе магическими квадратами занимались как минимум двое посвященных - Корнелиус Агриппа и Альбрехт Дюрер. Загадочная гравюра Дюрера «Меланхолия I» была оставлена им как ключ к некоторым Божественным мерам и весам. Дюрер был одним из первых в средневековой Европе, кто изучал пропорцию золотого сечения, он также владел знаниями других священных мер, о чем свидетельствует странный неправильной формы многогранник, изображенный в «Меланхолии». Среди прочих предметов там им был изображен и магический квадрат. Он был составлен таким образом, что в его нижней строке даже был отражен год создания гравюры - 1514.

«Меланхолия» сильно заинтересовала и озадачила меня во время посещения дома-музея Дюрера в Нюрнберге. Магический квадрат - центральный объект «Мелахолии» и, возможно, главный плод исследований художника, принципиально отличался от квадрата Джабира Ибн Хайяна и Корнелиуса Агриппы (и Ло-Шу). Далее мы увидим, почему.

Магический квадрат Дюрера, изображенный на «Меланхолии», имел порядок 4 х 4, и выглядел вот таким образом:

Сумма чисел квадрата на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате, в квадрате из угловых клеток, в квадратах, построенных «ходом коня» и т.д. В смысле передачи идеи динамического равновесия и баланса этот квадрат не только не уступает, но даже превосходит квадрат Ло-Шу. Так в чем же разница?

Разница в том, что у этого квадрата нет единого центра . Такой тип квадрата называется четным: он не имеет цифры, которую можно было бы принять за начало координат и относительно которой можно было бы уравновесить все остальные части квадрата! Он на языке чисел иллюстрирует идею отсутствия Единства, идею отделенности, множественности . Все четыре части квадрата Дюрера являются сбалансированными внутри себя и замкнутыми в себе, они как бы «не нуждаются» в едином центре. Если мы соединим два квадрата между собой, то получим схему, по принципу очень напоминающую функционирование человеческого мозга, где два полушария - по сути дела представляющие из себя два самостоятельных мозга - соединяются друг с другом с помощью посредника - мозолистого тела.

16 3 2 13 16 3 2 13

5 10 11 8 5 10 11 8

9 6 7 12 9 6 7 12

4 15 14 1 4 15 14 1

Глядя на мир, существо с такой структурой сознания будет воспринимать его как состоящий из отдельных, не связанных между собой объектов. Оно будет не в состоянии воспринимать Единство, поскольку его сознание не имеет связи с центром, нулевой точкой. Слово майя , означающее «иллюзорный мир», изначально на санскрите означало «сила разделения», «разделенный ум».

16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13

5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8

9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12

4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1

16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13

5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8

9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12

4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1

В какую бы сторону по этой сетке мы ни двигались, мы нашли бы те же обособленные части с суммой цифр 34. Обособленные квадраты тем не менее, могут понимать друг друга, «сообщаясь» на всеобщем языке Сети, «языке 34», через «посредников» - такие же квадраты с суммой цифр 34, образующиеся на стыке двух соседних (они выделены подчеркиванием). Однако посредники не то же самое, что уравновешивающая сила (примиряющее решение для парадокса) , какой является ноль в середине магических квадратов нечетных порядков.

Такую сеть разделенных и обособленных сознаний невозможно создать, используя в качестве основы магические квадраты, у которых есть единый центр.

Если бы какой-то злой волшебник захотел придумать сеть сознания, которая создавала бы иллюзию настоящего мира - иллюзию настолько правдоподобную, что ее трудно было бы отличить от реальности, но которая все же оставалась бы нереальной, - он вполне мог бы использовать подобную идею. Конечно, коды его сети - Матрицы - были бы на порядки сложнее, но базовый принцип оставался бы похожим: возможность коммуникации между частями Матрицы, но отсутствие Единого центра.

Может ли быть, что, помещая песочные часы рядом со своим магическим квадратом, Дюрер оставил намек на его связь с преходящим и иллюзорным миром, в котором мы оказались? Песочные часы часто встречались в гравюрах Дюрера как символ бренности жизни. Возможно, он думал о всех нас, попавших в сети нереального мира, о людях, «по ком звонит колокол» над квадратом?

В отличие от Дюрера, поместившего квадрат Матрицы под колоколом и рядом с песочными часами, Атанасиус Кирхер отдал свой магический квадрат 3 х 3 в руки ангела в небесной выси, вполне ясно давая понять, на каких числовых соотношениях основан мир другой, истинной Реальности....

Работы Дюрера отражают его причастие к сакральному Знанию. На нескольких гравюрах, в довольно неожиданных местах, художник поместил изображение чертополоха, которое искусствоведы объясняют причинами самыми нелепыми, в то время как истинной причиной может являться указание на принадлежность автора к одному из братств Традиции. Братство Чертополоха было одним из средневековых тайных обществ, корни которого идут от шотландских тамплиеров. Позднее члены ордена носили плащи зеленого цвета и знак в виде восьмиугольной звезды.

...Я стою на пороге бывшего дома Альбрехта Дюрера и смотрю на угол здания наискосок, где скульптурный Архангел Михаил попирает ногами и поражает копьем крылатого Змея. Уже собираясь уходить, я бросаю взгляд на увеличенную копию знаменитого автопортрета хозяина дома, висящую на входе, и застываю. Кто же ты, Господин Меланхолик? Внимательный, серьезный взгляд, лицо, на котором почему-то трудно представить улыбку. «Меланхолия» - тоже автопортрет, квинтэссенция Знания художника. Ключ к какой тайне ты хотел передать нам, потомкам, оставив свой магический символ?

«Ты узнаешь позже. Но важно не это».

«Что же важно?»

«Лестница с семью ступенями. Она ведет за пределы заколдованной сети квадрата, к свободе от мира меланхолии» .

«Как найти эту лестницу, Господин Меланхолик?»

«Ты не нащупаешь лестницу, живя разумом, потому что он создан двойственным. Первая ступень лестницы начинается в сердце. Полезно размышлять над тем, почему у человека два мозга, но одно сердце».

Хотя наше обычное сознание поймано в плен Сетью мира иллюзий, где царствует враждебность, потому что все кажется разделенным, изолированным одно от другого, в нас, согласно Учителям Традиции, все же есть нечто - орган, названный Платоном «оком», очищая которое огнем Знания, мы прозреваем в мир Реальности. Может быть, Платон имел в виду то же самое око, о котором говорится в Евангелии от Матфея (6:22): «Светильник для тела есть око. Если око твое будет чисто, то все тело твое будет светло» ?

Каждый из нас неразрывно связан с миром Реальности через орган, который Традиция называет сердцем (имея в виду не физическое сердце, но средоточие Единства в нас - сердцевина живого существа). Наше сердце - часть необъятной сети Творения, в котором все - от песчинки до галактик - связано со всем через Единый центр, нулевую точку.

Продолжение в и

Магический квадрат Альбрехта Дюрера. Магический квадрат 4?4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера«Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514). Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2?2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12).

Геометрия 8 класс

«Определение правильных многоугольников» - Решение задач. Любой правильный многоугольник является выпуклым. Устная работа. Построенная фигура. Паркеты из правильных многоугольников. Формула для вычисления угла правильного n-угольника. Чему равна сумма внешних углов правильного n- угольника. Чему равен каждый из углов правильного многоугольника. Творческое задание. Многоугольники разных видов. Выпуклый многоугольник. Задачи урока. Плоскость без просветов можно покрыть правильными треугольниками.

«Виды прямоугольников» - Диагональ. Перпендикуляры. Прямоугольник. Квадрат является параллелограммом. Найдите все неизвестные угла квадрата. Упражнения. Упражнения по планиметрии на готовых чертежах. Упражнения по планиметрии. Обратное утверждение. Признак. Параллелограмм. Сторона ромба. Признак ромба. Особое свойство прямоугольника. Параллелограмм АВСD. Меньшая сторона прямоугольника. Высота. Свойство ромба. Докажите. Найдите периметр квадрата.

«Построение касательной к окружности» - Окружность и прямая имеют одну общую точку. Общие точки. Хорда. Касательная к окружности. Повторение. Окружность и прямая. Диаметр. Теорема об отрезках касательных. Взаимное расположение прямой и окружности. Решение. Окружность.

«Вычисление площади многоугольника» - Многоугольник составлен из нескольких многоугольников. Тест. Площадь многоугольника. Работа в тетрадях. АВСD-параллелограмм. Свойства площадей. Устное решение задач. Как вы понимаете. Какие основные свойства площадей вы знаете. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Середины сторон ромба. В прямоугольнике диагонали равны. Цели урока. Единицы измерения площадей. Работа по готовым чертежам.

«Задачи на признаки подобия треугольников» - Определение высоты предмета по луже. Индивидуальная карта. Решение задач по готовым чертежам. Измерение высоты больших объектов. Подобие треугольников. Тень от палки. Определение высоты предмета по зеркалу. Решение практических задач. Способ Фалеса. Назвать подобные треугольники. Определение высоты пирамиды. Самостоятельная работа. Определение высоты предмета. Гимнастика для глаз. Девиз урока.

«Понятие вектора» - Длина вектора. Векторы. Направление векторов. Равенство векторов. Коллинеарные векторы. Отметьте на чертеже. Равнобедренная трапеция. Историческая справка. Два ненулевых вектора. Задача. Два ненулевых вектора коллинеарны. Нулевой вектор. Геометрическое понятие вектора. Что такое вектор. Откладывание вектора от данной точки. Параллелограмм.

Глава № 5

Магические квадраты

Мы называем их магическими квадратами или планетарными квадратами. Или печатями, камеями, таблицами. Как и многие другие магические инструменты, они под разными именами известны в различных системах, но как бы их ни называли, они датируются сотнями или даже тысячами лет. Самым ранним из записанных, является квадрат 3 на 3, 3-го порядка, который известен сейчас как квадрат Сатурна, а в Китае звался Ло Шу.

Черепаха и квадрат Сатурна

Его открытие приписывается великому императору Ю, «Мудрому Королю», и относится примерно к 3000 году до н. э. . Однажды, прогуливаясь вдоль реки Ло, притока Желтой реки, император нашел черепаху. По таинственным числовым узорам на ее спине император Ю понял, что это магическое создание и взял ее с собой во дворец. Черепаха стала объектом почитания, а священные узоры на ее панцире вызвали восторг у придворных ученых.

Рис. 17. Узор но панцире черепахи

Как повествуется в этой истории, китайский двор восхищали необычные скопления пятнышек на черепашьем панцире: в черных группах число этих пятнышек было нечетным, а в белых - четным (рис. 17). Сама числовая последовательность получила название Ло Шу - Письмена Реки Ло. Она обнаруживается в китайских математических текстах, начиная примерно с 2200 года до н. э. Гораздо позже, в 1275 году н. э., математик Ян Хуэй подробно описал магические квадраты в труде, озаглавленном: «Возобновление древних математических методов для объяснения странных качеств чисел». Ян Хуэй предварил свою книгу высказыванием о том, что он опирался на работы более ранних математиков. Он не объяснил, как получил большинство квадратов 3, 4 и 5-го порядка, но привел простую формулу для построения квадрата Ло Шу «с нуля» (рис. 18).

Рис. 18. Построение Ло Шу

Напишите числа от 1 до 9 в три ряда и поверните написанное направо таким образом, чтобы 1 оказалась сверху, а 9 - снизу (А). Поменяйте местами 1 и 9 (В), и 3 и 7 (С). Затем опустите 9 так, чтобы она оказалась между 4 и 2 в верхнем ряду (D); придвиньте друг к другу 3, 5 и 7 во втором ряду и поместите 1 между 8 и 6 в нижнем ряду (Е). Вуаля!

Для того чтобы использовать полученную конфигурацию в качестве магического квадрата, к ней следует присовокупить линии координатной сетки, посредством которых можно создавать ячейки для цифр. И тогда нам предстанет тот же самый Ло Шу. Восемь внешних групп пятнышек на панцире черепахи стали восемью триграммами «И-Цзин» (рис. 19). Ло Шу также близок к практике фэн-шуй, девять позиций которого известны как «Девять Блуждающих Звезд», триграмме богуо, схеме 3 на 3, определяющей атрибуты и «исцеление» пространства фэн-шуй . Я нашла немного из того, что могло бы прояснить все детали упомянутой истории со священной черепахой, но без сомнения, - «И-Цзин», Квадрат Сатурна, По Шу и фэн-шуй - являются прямыми потомками этого древнего животного.

Рис. 19. И-Цзин/Ло Шу

Игры с математикой квадрата Сатурна

Это самый маленький квадрат и хороший объект для демонстрации базовой информации, относящейся к функциям и терминологии. Данный квадрат является кладезем математических трюков, тем более забавных, что вам известно, сколь легко его создать.

Рис. 20. Квадрат Сатурна

Во-первых, будучи квадратом 3-го порядка, он имеет три клетки в длину, три клетки в высоту и содержит в себе числа от 1 до 9. Самое большое число в квадрате соответствует количеству имеющихся в нем клеток (рис. 20, 21).

Сумма чисел в каждой строке (А) равна 15, как и в каждой колонке (В).

Сумма чисел по диагонали, как от верхнего левого до нижнего правого угла, так и от верхнего правого до нижнего левого (С), также равна 15.

Рис. 27.Математика квадрата Сатурна

Если вы сложите вместе все числа в квадрате - 1+2+3+4+5+6+7+8+9 - сумма составит 45.

Разделите 45 на порядок квадрата - 3 - и вы получите 15, результат, равный сумме любой строки, столбца и диагонали.

Но это еще не все.

Сложите пару чисел, расположенных напротив друг друга. В среднем ряду это 3 + 7. В средней колонке это 9+1. Угловые диагональные пары - 4 + 6 и 2 + 8. Каждая пара в сумме дает 10.

Теперь, обратите внимание на число 5 в центре квадрата, единственное число, оставшееся без пары. Удвойте его, сложив само с собой: 5 + 5. Сумма равна 10, что соответствует расположенным напротив друг друга парам. Это также будет верно и для большего квадрата нечетного порядка: найдите клетку в нулевой точке, удвойте число, находящееся в ней, а затем определите пары, которые дают такую же сумму.

Вернемся к истории. Ло Шу мигрировали из Китая или нечто подобное появилось где-то в других местах независимо?

Рис. 22. Розетка Сатурна

Рис. 23. Гадание по Ло Шу

И то, и другое. Майя был известен этот квадрат, как и северным африканцам и доисторическим французам . Древние вавилоняне вписывали в этот квадрат восьмиконечную звезду Иштар, чтобы использовать его для определения направлений (рис. 22). Один современный источник предлагает вариант использования квадрата прорицателями: нарисуйте сетку и числа в ней белым мелом на черной бумаге. Затем поместите хрустальный шар в центр, где обычно находится число 5 (рис. 23). Этот вариант квадрата известен как «Египетская фигура», так что, быть может, китайская черепаха имела пращуров, живших во времена фараонов . Между тем, квадраты 4-го порядка были известны в Индии примерно с 550 года н. э., когда Варахамихира написал текст о предсказаниях под названием «Брихатсамхита». Некоторые из предложенных Варахамихирой квадратов 4-го порядка содержали в себе зашифрованные рецепты благовоний, тогда как другие назывались качапута, дословно «панцирь черепахи», что опять указывает на связь с черепахой Ло Шу .

Квадраты 5-го и 6-го порядков были известны в исламских странах к 983 году н. э. В тексте «Кабс аль-Анвар», написанном Надруни, примерно в 1384 году н. э., перечислены пары семи планет и квадратов, как показано на рисунке 24, в порядке, повторенном в 1498 году Пачоли в «De Viribus» и Корнелиусом Агриппой в «De Occulta Philosophia» («Оккультной философии») в 1531 году. Эта последовательность известна как Халдейский порядок, и в ней сопоставляется размер каждого квадрата с соответствующим расстоянием от каждой планеты до Земли: чем дальше, тем меньше клеток, чем ближе, тем клеток больше.

Рис. 24. Халдейский порядок

С незапамятных времен люди знали, что Солнце находится ближе к Земле, чем Марс (кроме Великих Противостояний), Юпитер и Сатурн. Наблюдая за движением Луны, Меркурия и Венеры древние астрономы установили, что иногда каждая из этих планет проходила между Землей и Солнцем, а Меркурий и Венера периодически огибали его. С Луной такого никогда не случалось, что побудило наших предков прийти к логичному умозаключению, что она является ближайшей соседкой Земли. И наоборот, Марс, Юпитер и Сатурн никогда не оказывались между нами и нашей звездой, напротив, описывая круг, они периодически проходили позади Солнца, что и привело к убеждению, что данные планеты удалены от Земли на более далекое расстояние, чем Солнце. Ошибочно? Да, но едва ли безумно. Отсюда - «халдейский порядок», который до сих пор имеет сильное влияние на использование магических чисел на Западе. Традиция долгая, логики в ней немного, так что делайте собственные выводы о том, стоит ли использовать халдейский порядок и каким образом.

Не существует квадратов 2-го порядка: четырехклеточный квадрат не демонстрирует ничего удивительного при сложении чисел 1, 2, 3 и 4. Агриппа дал этому обстоятельству оригинальное объяснение: число 2 было проклято из-за действий первых двух людей, Адама и Евы, что сделало квадрат 2-го порядка невозможным. Другое его «доказательство» не уступало первому: он считал, что четыре элемента - Земля, Воздух, Огонь и Вода, соответствующие здесь числам от 1 до 4 - неадекватны. Агриппа описал и квадрат 1-го порядка - единственную клетку, содержащую число 1, которое он отождествлял с Богом . Быть может, это странное обоснование и послужило причиной бездействия инквизиции по отношению к самому автору?

Волшебные и магические квадраты

Теперь самое время провести различие: есть два вида квадратов, которые можно условно назвать «волшебными» и «магическими».

Волшебные квадраты - это вид «развлекательной математики», что-то вроде кроссвордов для поклонников данной науки. Они называются «волшебными», поскольку позволяют жонглировать числами путем самых невероятных комбинаций. Хотя их самые ранние версии имели метафизическую подоплеку, для большей части исторических или современных волшебных квадратов не существует мистических ассоциаций. Они просто не предназначены для этих целей, равно как и кроссворды не могут являться путеводной нитью для Хроник Акаши .

Квадраты второго типа, настоящие магические квадраты, схожи с рервыми своей математической составляющей, но, кроме того, они имеют очень древние корни и долгую историю магического и оккультного использования. Вот о магических квадратах и поговорим далее.

Квадрат Дюрера (почти квадрат Юпитера)

Среди множества людей, очарованных волшебными/магическими квадратами, были художник Альбрехт Дюрер (1471–1528) и американский политик Бенджамин Франклин (1706–1790). Франклин, служивший в конце 1730-х, задолго до своего политического взлета, секретарем в Пенсильванской ассамблее, скуки ради занимался составлением квадратов . Хотя оба, вероятно, наслаждались этими головоломками, Франклин (который был масоном) и Дюрер, конечно же, интересовались и метафизическими аспектами.

Квадрат Юпитера появляется на гравюре Дюрера «Меланхолия» - или почти появляется, поскольку Дюрер позволил себе здесь некоторые вольности (рис. 25, 26, 27). Зачем использовать квадрат Юпитера, если меланхолия метафизически соответствует планете Сатурн? Быть может, исцеления ради, Юпитер (он же Иов, как в слове «веселый» ) должен был противодействовать «сатурнальной» угрюмости?

Картина «Меланхолия» наполнена оккультными ассоциациями, над которыми до сих пор бьются историки искусств: сложное геометрическое тело, лестница в семь ступеней, компас (показывающий 51°25? - значение, используемое для создания семиконечной звезды или разделения круга на 7) и другие реквизиты (рис. 25). Известно, что Дюреру нравилось создавать визуальные головоломки, чтобы с их помощью испытывать и забавлять своих друзей. Вероятно, и «Меланхолия» стоит в том же ряду.

Его решение развернуть квадрат Юпитера на 180° (рис. 26, 27), возможно, было обусловлено спецификой процесса печати. Работавшие в технике гравюры художники, для получения нормального оттиска с вытравленного на пластине изображения, должны были создавать свои композиции в зеркальном виде. Это означает, что любой текст и числа должны были быть первоначально написаны наоборот. Быть может, работая над размещением чисел на гравировальной доске, Дюрер захотел увековечить дату создания картины? Таким образом, повернув традиционный квадрат, он получил искомый 1514 год, прописавшийся в нижнем ряду. Есть еще одна числовая комбинация, о которой Дюрер, безусловно, знал: каждая строка квадрата Юпитера при сложении дает 34, а в 1514 году Альбрехту Дюреру исполнилось тридцать четыре года.

Рис. 25. «Меланхолия» Дюрера

Рис. 26. Квадрат Дюрера

Рис. 27. Квадрат Юпитера

Мы используем квадрат Дюрера для исследования возможностей некоторых квадратов - волшебных или магических. В квадрате 4-го порядка имеется шестнадцать ячеек, содержащих числа от 1 до 16. Принципиальным моментом здесь является местоположение каждого числа.

Игры с математикой квадрата Юпитера

Рисунок 28 демонстрирует математику квадрата Юпитера.

А, В и С. Строки, столбцы и диагонали, как в квадрате Сатурна. Каждое из этих сочетаний в сумме дает 34.

D. То же происходит и с четырьмя углами: 16+13 + 4+1 =34, и

Е. С четырьмя центральными ячейками: 10+11 + 6 + 7 = 34.

F. И даже с парами внутренних чисел, расположенных вдоль внешних краев:

3 + 2 + 15 + 14 (вдоль верхнего и нижнего края) = 34 5 + 9 + 8 + 12 (вдоль левого и правого края) = 34

Рис. 28. Математика квадрата Юпитера

Итак, вот уже четырнадцать различных способов сложения до 34, возможных в этом квадрате, но есть и другие.

G, Н, I, J, К и L показывают еще четырнадцать способов достижения 34 путем сложения конкретных клеток в квадрате Юпитера , и этих способов может быть даже еще больше. Если А, В и С работают во всех планетарных квадратах, то многие из этих вариантов присущи именно данному квадрату. Есть свои хитрости и у других квадратов. Я оставляю за вами право их обнаружения, если, конечно, эта логическая игра захватывает ваше воображение.

Если же вы жаждете более детального и углубленного математического анализа, то обратитесь к соответствующей литературе, представленной в конце книги в библиографии.

Теперь давайте вернемся к мистике.

Планетарные квадраты

Здесь они показаны в порядке возрастания, от меньшего к большему. Важно понимать, что сила воздействия от использования этих квадратов зависит не от бездумного копирования их внешнего вида; она заключена в самом акте их созидания с нуля, в последовательной записи одного числа за другим. Когда вы рисуете свой собственный квадрат, используйте последовательность нумерации для медитации. Вписывайте каждое число в квадрат по очереди - 1, 2, 3 и т. д. - а не просто строчите их ряд за рядом. Совет: сначала пишите цифры карандашом, а затем, обводя их ручкой в соответствующем порядке, - от 1 и далее - фокусируйте на них все свое внимание.

Несколько общих замечаний:

Первое: если вы умножите число в центральной ячейке любого квадрата нечетного порядка на число самого порядка, то вы получите общую сумму чисел в любом ряду/столбце квадрата. Например, у Марса квадрат 5-го порядка, а центральное число - 13, отсюда 5 х 13 = 65 .

Второе: если порядок квадрата делится на 3, то общая сумма квадрата упрощается до числа 9. Во всех других случаях - до числа 10 (до 1).

Третье: для всех квадратов нечетного порядка - Сатурна, Марса, Венеры и Луны - вначале следует определить центр. Число 1 находится непосредственно под центром квадрата, а его самое большое число - непосредственно над центром. Сам центральный квадрат будет содержать число «центра»: 1-2-3-4-5-6-7-8-9. Если вы определите начальную, центральную и конечную точки, то схема этих квадратов нечетного порядка выявится сама собой.

Квадраты четного порядка - Юпитера, Солнца и Меркурия - начинаются с числа 1 в верхнем правом углу и заканчиваются наибольшим числом в левом нижнем углу. Помимо этого, их последовательности хитрее, во всяком случае, на мой взгляд. Удачи в обнаружении их схем!

Квадрат Сатурна

Рис. 29. Квадрат Сатурна

Понимания прошлого опыта;

Развития личной дисциплины;

Правильного использования границ и ограничений;

Осмысления кармы.

Для дополнительной информации обратитесь к материалам раздела «Суббота» в главе № 4 .

Раскладка квадрата: сетка 3 на 3, квадрат 3-го порядка. Содержащиеся числа: от 1 до 9.

Общая сумма каждой строки, столбца и диагонали: 15. Общая сумма всего квадрата: 45.

Деление общей суммы на число порядка: 45; 3 = 15.

Квадрат Юпитера

Используется для усиления/улучшения:

Успеха в судебных делах;

Расширения дела;

Удачи, успеха (и собственного ощущения радости?);

Установления партнерства, союзов;

Духовного роста.

Для дополнительной информации обратитесь к материалам раздела «Четверг» в главе № 4.

Рис. 30. Квадрат Раскладка квадрата: сетка 4 на 4, квадрат 4-го порядка.

Общая сумма каждой строки, столбца и диагонали: 34. Общая сумма всего квадрата: 136.

Деление общей суммы на число порядка: 136: 4 = 34.

Квадрат Марса

Рис. 37. Квадрат Марса

Используется для усиления/улучшения:

Принятых решений;

Физической силы, энергии;

Личной храбрости и силы воли;

Контроля темперамента, страстей;

Благословения транспортных средств и механизмов;

Технических способностей;

Коммерческой кулинарии.

Для дополнительной информации обратитесь к материалам раздела «Вторник» в главе № 4.

Раскладка квадрата: сетка 5 на 5, квадрат 5-го порядка. Содержащиеся числа: от 1 до 25.

Общая сумма каждой строки, столбца и диагонали: 65. Общая сумма всего квадрата: 325.

Деление общей суммы на число порядка: 325: 5 = 65.

Квадрат Солнца

Рис. 32. Квадрат Солнца

Уверенности в себе;

Здоровья, жизненных сил;

Лидерских способностей;

Понимания цели;

Самореализации;

Успеха в новых проектах.

Для дополнительной информации обратитесь к материалам раздела «Воскресенье» в главе № 4.

Раскладка квадрата: сетка 6 на б, квадрат 6-го порядка. Содержащиеся числа: от 1 до 36.

111 Общая сумма всего квадрата: 666.

666: 6 = 111.

Квадрат Венеры

Используется для усиления/улучшения:

Понимания гармонии и красоты;

Способности к дружбе и любви;

Открытости для радости, игривости и романтики;

Любви и взаимоотношений;

Чувственности;

Домашней кулинарии.

Для дополнительной информации обратитесь к материалам раздела «Пятница» в главе № 4.

Раскладка квадрата: сетка 7 на 7, квадрат 7-го порядка. Содержащиеся числа: от 1 до 49.

Общая сумма каждой строки, столбца и диагонали: 175. Рис. 33. Квадрат Венеры Общая сумма всего квадрата: 1225.

Деление общей суммы на число порядка: 1225: 7 = 175.

Квадрат Меркурия

Рис. 34. Квадрат Меркурия

Используется для усиления/улучшения:

Ясности мышления и восприятия;

Четкости и эффективности общения;

Концентрации, особенно в ходе учебы;

Интеллектуальных стремлений, способностей к приобретению знаний;

Контактов на духовном плане;

Безопасности и своевременности путешествий.

Для дополнительной информации обратитесь к материалам раздела «Среда» в главе № 4.

Раскладка квадрата: сетка 8 на 8, квадрат 8-го порядка. Содержащиеся числа: от 1 до 64.

Общая сумма каждой строки, столбца и диагонали: 260. Общая сумма всего квадрата: 2080.

Деление общей суммы на число порядка: 2080: 8 = 260.

Квадрат Луны

Рис. 35. Квадрат Луны

Используется для усиления/улучшения:

Интуиции и инстинкта;

Фертильности (определенной) и творческих способностей;

Эмоциональной настроенности;

Познаний в области психики;

Всех садовых и фермерских начинаний;

Безопасности путешествий по воде.

Для дополнительной информации обратитесь к материалам раздела «Понедельник» в главе № 4.

Раскладка квадрата: сетка 9 на 9, квадрат 9-го порядка.

Общая сумма каждой строки, столбца и диагонали: 369.

Общая сумма всего квадрата: 3321.

Деление общей суммы на число порядка: 3321: 9 = 369.

Использование планетарных квадратов

Выберите планету, традиционная тематика которой соответствует вашим запросам. Например, для улучшения концентрации при подготовке к экзамену логично остановить свой выбор на Меркурии. Открытие нового дела обычно в компетенции Солнца, тогда как усиление товарооборота в уже существующем бизнесе лучше всего обратиться к Юпитеру. Все, что касается ограничений, должно быть адресовано Сатурну. Если же вы желаете благословить и защитить свое новое транспортное средство, то здесь наилучший выбор - Марс.

Одна моя подруга недавно купила дизельную машину, которую она переделала так, что теперь ее можно заправлять использованным растительным маслом. Браво! В качестве воззвания о даровании сохранности машине и ее пассажирам, можно выбрать ключевое слово или коротенькую фразу: «Благослови Мерседес» или «Защити мою машину» или, быть может, «АВС-987», (вымышленный) регистрационный номер. В данном случае подойдет следующее: «Езди хорошо, останься невредимой».

Затем мы ищем числа, соответствующие буквам в выбранной фразе. Наша первая задача состоит в том, чтобы использовать числа от 1 до 9 в качестве ключа для алфавита (рис. 36). Многие из нас, вероятно, Уже знакомы с этим ключом, поскольку он используется в нумерологии и в простом шифровании.

Рис. 36. Алфавитный ключ 1–9

При работе со схемой 1–9 наша фраза будет выглядеть как на рисунке 37.

Рис. 37. «Езди хорошо, останься невредимой», 1–9

Если вы используете квадрат Сатурна или вам нужны буквы от Q до Z в квадрате Юпитера, то вам следует применять шифрование 1–9, показанное на рисунке 36.

Однако мы также пользуемся квадратом Марса, квадратом 5-го порядка, с двадцатью пятью отдельными клетками. Поскольку наша фраза не включает Z, двадцать шестую букву, мы можем, вместо того чтобы задействовать одно число из кода 1–9 для трех разных букв, назначить отдельное число для каждой буквы. Дабы воспользоваться уникальными числами прибегните к ключу 1-26, показанному на рисунке 38.

Рис. 38. Алфавитный ключ 1-26

Примечание : если вы упростите каждое двузначное число, этот шифр, будет соответствовать шифру 1–9 на рисунке 36.

Теперь фраза будет выглядеть как на рисунке 39.

Рис. 39. «Езди хорошо, будь в сохранности», 1-26

Гематрия

Разбирая побуквенно различные слова, мы иногда встречаем удивительные числовые параллели. Например, Поп (лев) выражается в числах как 3-9-6-5; cheetah (гепард) как 3-8-5-5-2-1-8; a tiger (тигр) как 2-9-7_5-9, если работать с набором простых чисел (см. рис. 36). Давая суммы 23, 32 и 32, все они упрощаются до 5.

Если вы находите такие совпадения интригующими, гематрия может стать вашим любимым занятием. Схожая с приведенным примером, но куда более сложная гематрия основывается на двадцати двух буквах древнееврейского алфавита и еще пяти буквах того же алфавита, повторяющихся в несколько отличных формах, когда они исполняют роль окончаний. Итого двадцать семь. Каждой букве присваивается числовое значение, но в отличие от уже виденных нами алфавитов типа A-Z, эти значения зачастую достигают куда более значительных величин - вплоть до трехзначных - так что когда слово записывается подобным образом, сумма может быть внушительной. Другие отличия: в гематрии суммы не упрощаются до однозначных чисел; у каждой буквы есть также глубокий эзотерический смысл; кроме того, гематрия основывается на иврите, а многие из нас работают на родном языке, поскольку заклинание должно быть фонетическим.

«Каббала называет древнееврейский алфавит „буквами ангелов* 1 ». Так написала мадам Блаватская в своей книге «Тайная доктрина» , потому использование ивритских букв в гематрии является одним из способов исследования их божественных ассоциаций. Гематрия глубокое, древнее, сложное и тонкое учение - это самое общее определение того, чем оно занимается.

Согласно гематрии, лев, которого мы упоминали ранее, имеет следующее численное значение: 30 + 10 + 70 + 50 = 160. Тогда как гепард (cheetah ) выглядит гораздо солиднее: 60 (ch) + 8 (долгое е) + 300 (t) + 1 (а) = 369.

Для более глубокой интерпретации обратимся к символике гематрии (рис. 40). С ее точки зрения, имя нашего старого знакомца льва (Поп) слагается из букв, имеющих следующие метафорические значения: «стимул вола», то есть «прут», «рука», «глаз» и «рыба» . Название буквы ламед, часто переводимое как «стимул вола», в более широком смысле может означать нечто вроде «мотиватора». Йод или «рука», возможно, олицетворяет собой стремление к воплощению своих идей в физическую реальность, то есть, буквально, борьбу с судьбой. Айн или «глаз» подразумевает видение и Неприятие, взгляд и понимание. Наконец, Нун или «рыба», должно быть, говорит о негостеприимной для людей окружающей среде и необходимости адаптации для выживания во враждебном мире. Как видим, посредством этого глубокого толкования понятие «лев» обретает куда более сложное символическое значение.

Рис. 40. Древнееврейский гематрический код

Жестокий «король джунглей»? Безусловно, но рассмотренные выше характеристики дают много пищи для размышлений и могут служить руководством для человеческих поступков в условиях «джунглей» современной жизни.

Настоящие практики от гематрии будут использовать не только комплекс метафорических значений букв, слагающих имя объекта исследования, но также изучать и числовую составляющую, в данном случае слова «лев». Какие еще слова дают сумму 160? Можно ли с их помощью расширить наше понимание исследуемого слова?

Вавилоняне также использовали гематрическую систему. У царя Саргона II (ок. 722–705 до н. э.) была стена длиной 16 283 кубита (1 кубит = 0,48 м), построенная на основе числового значения его имени . Этот грандиозный пример может вдохновить нас на самостоятельное использование гематрии, быть может, не для постройки массивных стен, но для куда более скромных измерений и подсчетов, основанных на гематрическом значении собственного имени или качеств, которые мы желали бы заполучить.

Рис. 41. Греческий гематрический код

Так, если бы я делала талисман, способствующий проявлению ранее упомянутых львиных качеств, я бы украсила его числом 160.

Греческие буквы также имеют числовые значения, и существует собственная традиция их изучения (рис. 41). Например, гностическое божество Абраксас имеет числовое значение 365 (1 + 2 + 100 + 1 + 60 + 1 + 200), равное числу дней в году .

В традиционной практике ученые применяют гематрию к священным текстам, выискивая слова с равными числовыми значениями.

Перед первооткрывателем, обнаружившим однажды этот числовой резонанс, может открыться бессчетное количество направлений для исследования. Результат? Тайная гармония, скрытая в паутине взаимосвязей смыслов и совершенно невидимая для случайного читателя того же текста.

Запаситесь терпением: это запросто может оказаться работой на десятилетия.

Неважно, используете вы код с рисунка 36 или с рисунка 38, в любом случае, давайте начинать. Мы собираемся «вписать» фразу «Езди хорошо, останься невредимой» в квадрат Марса (рис. 31), используя числа, которые мы только что подобрали. С этого момента у вас под рукой должны быть калька, линейка и ластик. Для начала проведите «тест-драйв» своей Фразы на кальке, наложенной поверх магического квадрата. Таким образом вы сможете определить, где расположены ваши числа, и избежать ошибок в нарисованном от руки квадрате, над созданием которого вы Долго трудились. Для начала обратитесь к рисунку 42. Как можете убедиться, ваша фраза графически имеет, скорее, приятный дизайн, а не выглядит хаотичным клубком. Редактируйте и вновь воспроизводите свой чертеж - вот для чего вам нужны калька и ластик. Рисуйте линии от руки или при помощи линейки, если хотите, чтобы они были совершенно прямыми. Когда потренируетесь на черновике, уберите кальку и, сфокусировавшись на своих стремлениях, проведите линии на самом квадрате.

Рис. 42. Начало фразы по Марсу

Рис. 43. Конец фразы по Марсу

Рисунок 42. Начало фразы по Марсу: это первые четыре «буквы» (R-u-n w), обозначающиеся числами 18 (со звездочкой), 21, 14 и 23. Ничего обязательного, но запомните, короткие фразы работают лучше, чем словесные нагромождения. На рисунке 43 показывается, как должен выглядеть результат.

Рисунок 43. Конец фразы по Марсу: графическая форма искомой фразы, начало и окончание которой помечены звездочками.

Как правило, создаются и используются квадраты, соответствующие планете, находящейся на тот момент в астрологически благоприятном положении относительно других небесных тел. Можно просто работать в день, связанный с конкретной планетой. Если хотите, очертите круг и определите стороны света перед началом работы.

Экспериментируйте с различными цветами и типами фломастеров, цветных карандашей, экзотической бумаги или чем угодно, что может подстегнуть вашу фантазию. Когда ваш узор будет готов, его можно вырезать или вышить, начертить на водной поверхности или над церемониальным возлиянием. Возможности безграничны. Фиксируйте случаи использования квадратов. Эти записи станут вашим справочником или книгой рецептов для будущего применения. Если что-то работает особенно хорошо, есть смысл вновь и вновь воспроизводить данную процедуру, а в случае неэффективности чего-либо вы можете внести необходимые коррективы.

Что еще можно делать с магическими квадратами

Определите в каждом квадрате его «магическую линию». Делается это следующим образом: найдя число 1, проведите от него линию к числу 2, затем к числу 3 и так далее, по возрастающей, к конечному числу. В результате, перед вашими глазами предстанут великолепные геометрические узоры, которые могут послужить и вполне практическим целям. Планировка сада? Деловой логотип? Татуировка? Наложенный на выбранную карту маршрут для отпуска?

Прочертите линию, соединяющую дату и время вашего рождения. Это действие должно способствовать активизации позитивных талантов и потенциала, имеющихся у вас в наличии. Используйте квадрат планеты, которая управляет вашим знаком, или планеты, положение которой вы находите наиболее благоприятным для вашего колдовства, или же проделывайте это с каждым квадратом, а потом сравнивайте результаты. Таким вот образом можно обнаружить порядок линий, который в дальнейшем станет основой личного магического символа.

Лунный лабиринт

В поисках каких-либо еще магических чудес квадратов я обратилась к замечательной книге Клиффорда А. Пиковера «Дзен магических квадратов, кругов и звезд». Используя магический квадрат 9-го порядка (не квадрат Луны), Пиковер обнаружил интересный геометрический рисунок, получившийся при вымарывании всех нечетных чисел . Я скопировала эту идею, наложив кальку поверх другого квадрата 9-го порядка, настоящего квадрата Луны (рис. 35). Поскольку я использовала другой квадрат, то и получила совершенно иной узор. Потрясенная неожиданным узнаванием, я поняла, что вижу перед собой «семенную диаграмму» - основу для семиоборотного лабиринта (см. рис. 44, 45).

Варианты этого лабиринта обнаружены по всему миру, на пространстве от Крита до юго-запада Америки. Я впервые узнала о «семенной диаграмме» на семинаре по лабиринтам, где мы создавали большой лабиринт на песчаном берегу горного озера . Она состоит из вертикального + (знак плюса) в центре, четырех уголковых L-образных форм и четырех угловых точек. Эти компоненты скрытно присутствуют в обычном квадрате Луны и становятся видимыми только при вымарывании всех нечетных чисел.

Оставив достаточно места по сторонам, вычертите большую семенную диаграмму на песчаном пляже или нарисуйте маленькую на листе бумаги, а затем приступайте к созданию лабиринта. Соединив верхушку главной вертикальной линии с вершиной правого верхнего L (как показано на рис. 45), продолжайте создавать арки, прочерчивая линии слева направо, как показано на рисунке 46 и 47. В общем, если вы начали с линии, то закончите точкой и наоборот. Заметьте, что U-образные «углы» разворота, образующие петли лабиринта, являются также внешними углами квадрата Луны.

Рис. 44. Квадрат Луны, показывающий узор «семенного» лабиринта в виде линий нечетных чисел

Рис. 45. Лабиринт с нарисованной первой аркой

Рис. 46. Лабиринт со второй и третьей арками

Рис. 47. Лабиринт, к которому добавлены четвертая и пятая арки

Рис. 48. Лабиринт, к которому добавлены арки 6, 7 и 8. Теперь у нас есть полный 7-круговой лабиринт

Как и сама Луна, растущая и убывающая справа налево, двигается п о небосводу слева направо, так и вы, будучи в лабиринте, должны перемещаться как посолонь, так и противосолонь. Попробуйте раскрасить созданный на бумаге лабиринт карандашами всех цветов радуги, сменяя один цвет на другой в месте скругления углов.

Несколько необычных дополнительных замечаний:

Первое: в квадрате Луны 81 ячейка и, соответственно, 81 число, а масса самой Луны составляет 1/81 от массы Земли .

Следующее: Земля движется в пространстве со скоростью 28 миль в час; Луна - со скоростью 2268 миль в час. Это означает, что Луна движется в 81 раз быстрее Земли .

Последнее: как вырезано на статуях майя в Паленке «81 луна составляет 2392 дня» . Разделите 2392 на 81 и вы получите 29,53 - число, равное количеству дней в лунном цикле, по подсчетам современных ученых.

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ДЮРЕРА

Магический квадрат, воспроизведённый немецким художником Альбрехтом Дюрером на гравюре “Меланхолия”, известен всем исследователям магических квадратов.

Здесь подробно рассказывается об этом квадрате. Сначала покажу гравюру “Меланхолия” (рис. 1) и магический квадрат, который изображён на ней (рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

Теперь покажу этот квадрат в привычном виде (рис. 3):

Рис. 3

Интересно, что два средних числа в последней строке квадрата (они выделены) составляют год создания гравюры – 1514.

Считают, что этот квадрат, так очаровавший Альбрехта Дюрера, пришёл в Западную Европу из Индии в начале XVI века. В Индии этот квадрат был известен в I веке нашей эры. Предполагают, что магические квадраты были придуманы китайцами, так как самое раннее упоминание о них встречается в китайской рукописи, написанной за 4000-5000 лет до нашей эры. Вот какой древний возраст у магических квадратов!

Рассмотрим теперь все свойства этого удивительного квадрата. Но делать это мы будем на другом квадрате, в группу которого входит квадрат Дюрера. Это означает, что квадрат Дюрера получается из того квадрата, который мы будем сейчас рассматривать, одним из семи основных преобразований магических квадратов, а именно поворотом на 180 градусов. Все 8 квадратов, образующих данную группу, обладают свойствами, которые будут сейчас перечислены, только в свойстве 8 для некоторых квадратов слово “строка” заменится на слово “столбец” и наоборот.

Основной квадрат данной группы вы видите на рис. 4.

Рис. 4

Теперь перечислим все свойства этого знаменитого квадрата.

Свойство 1 . Этот квадрат ассоциативен, то есть любая пара чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, даёт в сумме 17=1+ n 2 .

Свойство 2. Сумма чисел, расположенных в угловых ячейках квадрата, равна магической константе квадрата – 34.

Свойство 3. Сумма чисел в каждом угловом квадрате 2х2, а также в центральном квадрате 2х2 равна магической константе квадрата.

Свойство 4. Магической константе квадрата равна сумма чисел на противоположных сторонах двух центральных прямоугольников 2х4, а именно: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.

Свойство 5. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом шахматного коня, а именно: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+2+12=34 и 4+10+13+7=34.

Свойство 6. Магической константе квадрата равна сумма чисел в соответствующих диагоналях угловых квадратов 2х2, примыкающих к противоположным вершинам квадрата. Например, в угловых квадратах 2х2, которые выделены на рис. 4, сумма чисел в первой паре соответствующих диагоналей: 1+7+10+16=34 (это и понятно, так как эти числа расположены на главной диагонали самого квадрата). Сумма чисел в другой паре соответствующих диагоналей: 14+12+5+3=34.

Свойство 7. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом, подобным ходу шахматного коня, но с удлинённой буквой Г. Показываю эти числа: 1+9+8+16=34, 4+12+5+13=34, 1+2+15+16=34,4+3+14+13=34.

Свойство 8. В каждой строке квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 15, и ещё пара тоже радом стоящих чисел, сумма которых равна 19. В каждом столбце квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 13, и ещё пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых равна 21.

Свойство 9. Суммы квадратов чисел в двух крайних строках равны между собой. То же можно сказать о суммах квадратов чисел в двух средних строках. Смотрите:

1 2 + 14 2 + 15 2 + 4 2 = 13 2 + 2 2 + 3 2 + 16 2 = 438

12 2 + 7 2 + 6 2 + 9 2 = 8 2 + 11 2 + 10 2 + 5 2 = 310

Аналогичным свойством обладают числа в столбцах квадрата.

Свойство 10. Если в рассматриваемый квадрат вписать квадрат с вершинами в серединах сторон (рис. 5), то:

а) сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных сторон, и каждая из этих сумм равна магической константе квадрата;

б) равны между собой суммы квадратов и суммы кубов указанных чисел:

12 2 + 14 2 + 3 2 + 5 2 = 15 2 + 9 2 + 8 2 + 2 2 = 374

12 3 + 14 3 + 3 3 + 5 3 = 15 3 + 9 3 + 8 3 + 2 3 = 4624

Рис. 5

Вот такими свойствами обладает магический квадрат с рис. 4.

Следует отметить, что в ассоциативном квадрате, каковым является рассматриваемый квадрат, можно выполнять ещё такие преобразования, как перестановка симметричных строк и/или столбцов. Например, на рис. 6 изображён квадрат, полученный из квадрата с рис. 4 перестановкой двух средних столбцов.