Нули функции формула. Найдем нули функции

Содержимое:

Нуль функции - значение х, при котором значение функции равно нулю. Обычно поиск нулей функции выполняется через решение полиномиального уравнения, например, x 2 + 4x +3 = 0. Вот несколько способов нахождения нулей функции.

Шаги

1 Разложение на множители

1. 1 Запишите уравнение, чтобы оно выглядело примерно так x 2 + 5x + 4. Начните с члена высшего порядка (такого, как x 2) и далее со снижением порядка до свободного члена (константа без переменной; число). Приравняйте полученное выражение к 0.
   • Многочлены (уравнения), записанные правильно:
     • x 2 + 5x + 6 = 0
     • x 2 - 2x – 3 = 0
   • Многочлены (уравнения), записанные неправильно:
     • 5x + 6 = -x 2
     • x 2 = 2x + 3
2. 2 a ", "b ", "c ". Это упростит задачу разложения на множители. Запишите уравнение в таком формате: a x 2 ± b x ± c = 0. Теперь найдите a , b , c из данного вам уравнения. Вот несколько примеров:
   • x 2 + 5x + 6 = 0
     • a
     • b = 5
     • c = 6
   • x 2 - 2x – 3 = 0
     • a = 1 (нет коэффициента перед "x", значит коэффициент = 1)
     • b = -2
     • c = -3
3. 3 Запишите все пары множителей коэффициента "с ". Пара множителей данного числа - два числа, которые при перемножении дают это число. Обратите особое внимание на отрицательные числа. Два отрицательных числа, будучи перемножены, дают положительное число. Порядок перемножения не имеет значения ("1 х 4" то же самое, что и "4 х 1").
   • Уравнение: x 2 + 5x + 6 = 0
   • Пары множителей 6, или c :
     • 1 x 6 = 6
     • -1 x -6 = 6
     • 2 x 3 = 6
     • -2 x -3 = 6
4. 4 Найдите пару множителей, сумма которых равна "b " . Посмотрите на значение b и найдите, какая из пар при суммировании даст это число.
   • b = 5
   • Пара множителей, сумма которых равна 5, это 2 and 3
     • 2 + 3 = 5
5. 5 Из этой пары множителей составьте 2 двучлена и объедините в бином. Бином – произведение двучленов вида (х ± число)(х ± число). Как узнать, какой знак (плюс или минус) выбрать? Просто посмотрите на знак чисел из пары множителей: положительное число - знак плюс, отрицательное число - минус. Вот пара множителей, с которыми мы составили бином:
   • (x + 2)(x + 3) = 0
6. 6 Решите каждый двучлен, перенеся неизвестное на другую сторону уравнения. Приравняйте каждый двучлен к 0: (х + 2) = 0 и (х + 3) = 0, а затем решите уравнение:
   • (x + 2) = 0; x = -2
   • (x + 3) = 0; x = -3
7. 7 Это и есть нули функции.

2 Решение квадратного уравнения

1. 1 Квадратное уравнение выглядит следующим образом:
2. 2 Обозначьте коэффициенты в вашем уравнении через "a ", "b ", "c ". Это упростит задачу решения уравнения. Запишите уравнение в таком формате: a x 2 ± b x ± c = 0.
3. 3 Теперь найдите a , b , c из данного вам уравнения.
4. 4 Решите уравнение. Чтобы решить квадратное уравнение, необходимо знать формулу решения такого уравнения. Все остальное - просто подстановка и вычисление.
   • Другой вариант решения квадратного уравнения - полный квадрат. Некоторые считают этот метод более простым, чем решение по формуле.
5. 5 Результатом решения квадратного уравнения по формуле будут "нули" функции, которые Вы ищете. Формула дает ответ в виде двух чисел, которые и являются решением (нулями) данной функции.

3 График квадратного уравнения

1. 1 Постройте график функции. Функция записывается в виде x 2 + 8x + 12 = 0.
2. 2 Найдите точки пересечения с осью х. Эти две точки будут нулями функции.
3. 3 Используйте график как способ проверки, а не как способ решения уравнения. Если вы строите график, чтобы показать на нем нули функции, воспользуйтесь этим для двойной проверки полученных результатов.

• Вы можете проверить ваши вычисления, подставив найденные решения в начальное уравнения. Если при этом уравнение равно нулю, то решения правильные.

2. Найдем нули функции.

f(x) при х .

Ответ f(x) при х .

2) х 2 >-4x-5;

x 2 +4x +5>0;

Пусть f(x)=х 2 +4х +5 тогда Найдем такие х при которых f(x)>0,

D=-4 Нет нулей.

4. Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными

1) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.

2) Множество решений неравенства f(х;у)>0 можно графически изобразить на координатной плоскости. Обычно линия, заданная уравнением f(х;у)=0 ,разбивает плоскость на 2 части, одна из которых является решением неравенства. Чтобы определить, какая из частей, надо подставить координаты произвольной точки М(х0;у0) , не лежащей на линии f(х;у)=0, в неравенство. Если f(х0;у0) > 0 , то решением неравенства является часть плоскости, содержащая точку М0. если f(х0;у0)<0, то другая часть плоскости.

3) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Пусть, например, задана система неравенств:

.

Для первого неравенства множество решений есть круг радиусом 2 и с центром в начале координат, а для второго- полуплоскость, расположенная над прямой 2х+3у=0. Множеством решений данной системы служит пересечение указанных множеств, т.е. полукруг.

4) Пример. Решить систему неравенств:

Решением 1-го неравенства служит множество , 2-го множество (2;7) и третьего - множество .

Пересечением указанных множеств является промежуток(2;3], который и есть множество решений системы неравенств.

5. Решение рациональных неравенств методом интервалов

В основе метода интервалов лежит следующее свойство двучлена (х-а): точка х=α делит числовую ось на две части - справа от точки α двучлен (х‑α)>0, а слева от точки α (х-α)<0.

Пусть требуется решить неравенство (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, где α 1 , α 2 ...α n-1 , α n - фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что α 1 < α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 методом интервалов поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа α 1 , α 2 ...α n-1 , α n ; в промежутке справа от наибольшего из них, т.е. числа α n , ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем - знак «плюс», затем знак «минус» и т.д. Тогда множество всех решений неравенства (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс», а множество решений неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Решение рациональных неравенств (т.е неравенств вида P(x) Q(x) где – многочлены) основано на следующем свойстве непрерывной функции: если непрерывная функция обращается в нуль в точках х1 и х2 (х1;х2) и между этими точками не имеет других корней, то в промежутках(х1;х2) функция сохраняет свой знак.

Поэтому для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) на числовой прямой отмечают все точки, в которых функция f(x) обращается в нуль или терпит разрыв. Эти точки разбивают числовую прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, т.е. сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой либо точке рассматриваемого промежутка числовой прямой.

2) Для определения интервалов знакопостоянства рациональной функции, т.е. Для решения рационального неравенства, отмечаем на числовой прямой корни числителя и корни знаменателя, которые как и являются корнями и точками разрыва рациональной функции.

Решение неравенств методом интервалов

3. < 20.

Решение. Область допустимых значений определяется системой неравенств:

Для функции f(x) = – 20. Находим f(x):

откуда x = 29 и x = 13.

f(30) = – 20 = 0,3 > 0,

f(5) = – 1 – 20 = – 10 < 0.

Ответ: . Основные методы решения рациональных уравнений. 1) Простейшие: решаются путём обычных упрощений - приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и так далее. Квадратные уравнения ax2 + bx + c = 0 решаются по...

X изменяется на промежутке (0,1], и убывает на промежутке .

Мы видим, что добавление n к аргументу x , не меняет

значение функции. Наименьшее отличное от нуля число

из n есть , таким образом, это период sin 2 x .

Нули функции. Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём ( корнем) функции . Функция может иметь несколько нулей. Например, функция y = x (x + 1) (x — 3) имеет три нуля: x = 0, x = — 1, x = 3. Геометрически нуль функции – это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х .

На рис.7 представлен график функции с нулями: x = a , x = b и x = c .

Асимптота. Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой .

Тема 6. «Метод интервалов».

Если f (x) f (x 0) при х х 0 , то функцию f (x) называют непрерывной в точке х 0 .

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I , то ее называют непрерывной на промежутке I (промежуток I называют промежутком непрерывности функции ). График функции на этом промежутке представляет собой непрерывную линию, о которой говорят, что ее можно «нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги».

Свойство непрерывных функций.

Если на интервале (a ; b) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.

На этом свойстве основан метод решения неравенств с одной переменной – метод интервалов. Пусть функция f(x) непрерывна на интервале I и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала. По свойству непрерывных функций этими точками I разбивается на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция f(x) c охраняет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции f(x) в какой-либо одной точке из каждого такого интервала. Исходя из этого, получим следующий алгоритм решения неравенств методом интервалов.

Метод интервалов для неравенств вида

Метод интервалов. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Линейная функция

Линейной называется функция вида. Рассмотрим для примера функцию. Она положительна при 3″> и отрицательна при. Точка – нуль функции (). Покажем знаки этой функции на числовой оси:

Говорим, что «функция меняет знак при переходе через точку ».

Видно, что знаки функции соответствуют положению графика функции: если график выше оси, знак « », если ниже – « ».

Если обобщить полученное правило на произвольную линейную функцию, получим такой алгоритм:

Квадратичная функция

Надеюсь, ты помнишь, как решаются квадратные неравенства? Если нет, прочти тему «Квадратные неравенства». Напомню общий вид квадратичной функции: .

Теперь вспомним, какие знаки принимает квадратичная функция. Ее график – парабола, и функция принимает знак « » при таких, при которых парабола выше оси, и « » – если парабола ниже оси:

Если у функции есть нули (значения, при которых), парабола пересекает ось в двух точках – корнях соответствующего квадратного уравнения. Таким образом ось разбивается на три интервала, а знаки функции попеременно меняются при переходе через каждый корень.

А можно ли как-нибудь определить знаки, не рисуя каждый раз параболу?

Вспомним, что квадратный трехчлен можно разложить на множители:

Отметим корни на оси:

Мы помним, что знак функции может меняться только при переходе через корень. Используем этот факт: для каждого из трех интервалов, на которые ось разбивается корнями, достаточно определить знак функции только в одной произвольно выбранной точке: в остальных точках интервала знак будет таким же.

В нашем примере: при 3″> оба выражения в скобках положительны (подставим, например: 0″>). Ставим на оси знак « »:

Ну и, при (подставь, например,) обе скобки отрицательны, значит, произведение положительно:

Это и есть метод интервалов : зная знаки сомножителей на каждом интервале, определяем знак всего произведения.

Рассмотрим также случаи, когда нулей у функции нет, или он всего один.

Если их нет, то и корней нет. А значит, не будет и «перехода через корень». А значит, функция на всей числовой оси принимает только один знак. Его легко определить, подставив в функцию.

Если корень только один, парабола касается оси, поэтому знак функции не меняется при переходе через корень. Какое правило придумаем для таких ситуаций?

Если разложить такую функцию на множители, получатся два одинаковых множителя:

А любое выражение в квадрате неотрицательно! Поэтому знак функции и не меняется. В таких случаях будем выделять корень, при переходе через который знак не меняется, обведя его квадратиком:

Такой корень будем называть кратным .

Метод интервалов в неравенствах

Теперь любое квадратное неравенство можно решать без рисования параболы. Достаточно только расставить на оси знаки квадратичной функции, и выбрать интервалы в зависимости от знака неравенства. Например:

Отмерим корни на оси и расставим знаки:

Нам нужна часть оси со знаком « »; так как неравенство нестрогое, сами корни тоже включаются в решение:

Теперь рассмотрим рациональное неравенство – неравенство, обе части которого являются рациональными выражениями (см. «Рациональные уравнения»).

Пример:

Все множители кроме одного – – здесь «линейные», то есть, содержат переменную только в первой степени. Такие линейные множители нам и нужны для применения метода интервалов – знак при переходе через их корни меняется. А вот множитель вообще не имеет корней. Это значит, что он всегда положительный (проверь это сам), и поэтому не влияет на знак всего неравенства. Значит, на него можно поделить левую и правую часть неравенства, и таким образом избавиться от него:

Теперь все так же, как было с квадратными неравенствами: определяем, в каких точках каждый из множителей обращается в нуль, отмечаем эти точки на оси и расставляем знаки. Обращаю внимание очень важный факт:

В случае четного количества поступаем так же, как и раньше: обводим точку квадратиком и не меняем знак при переходе через корень. А вот в случае нечетного количества это правило не выполняется: знак все-равно поменяется при переходе через корень. Поэтому с таким корнем ничего дополнительно не делаем, как будто он у нас не кратный. Вышеописанные правила относятся ко всем четным и нечетным степеням.

Что запишем в ответе?

При нарушении чередования знаков нужно быть очень внимательным, ведь при нестрогом неравенстве в ответ должны войти все закрашенные точки . Но некоторые из нах часто стоят особняком, то есть не входят в закрашенную область. В этом случае мы добавляем их к ответу как изолированные точки (в фигурных скобках):

Примеры (реши сам):

Ответы:

1. Если среди множителей просто – это корень, ведь его можно представить как.
   .

Алгоритм метода интервалов прост и бесхитростен:

1) Находим область определения функции .

2) Находим нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс).

3) В большинстве заданий потребуется чертёж. Чертим ось и откладываем на ней точки разрыва (если они есть), а также нули функции (если они есть). Определяем знаки функции на интервалах, которые входят в область определения.

Пункты можете законспектировать, впрочем, алгоритм очень быстро запомнит даже полный чайник. Тут всё прозрачно и логично.

Начнём с распространённой квадратичной функции:

Пример 1

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Решение :

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, точки разрыва и «нехорошие» промежутки отсутствуют.

2) Найдём нули функции. Для этого нужно решить уравнение . В данном случае:

Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два действительных корня:

3) Откладываем все найденные точки на числовой оси:

В статье Область определения функции я выполнял подобные чертежи схематически, но сейчас для большей наглядности изложения буду их масштабировать (за исключением клинических случаев). На том же уроке мы узнали, как выяснить знаки функции на интервалах - можно проанализировать расположение параболы. В данном случае ветви параболы направлены вверх, следовательно, на интервалах функция будет положительна: . Попа параболы сидит на интервале ниже оси абсцисс, и функция здесь отрицательна: .

Хорошо, параболу многие читатели представляют. Но что делать, если функция более сложная? Например, . Заметная часть аудитории уже затруднится сказать, как принципиально выглядит график данной функции. И это, так скажем, ещё только минимальное усложнение.

Однако и в простых и в сложных случаях работает универсальный способ:

Рассмотрим функцию непрерывную на некотором интервале , график которой не пересекает ось на этом интервале. Тогда:

Если функция положительна в какой-либо точке интервала , то она положительна и ВО ВСЕХ точках данного интервала;

Если функция отрицательна в какой-либо точке интервала , то она отрицательна и ВО ВСЕХ точках данного интервала.

Включите немного воображения: если на интервале нет точек разрыва, и график не пересекает ось абсцисс, то он не может по мановению волшебной палочки перескочить из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость (или наоборот). Поэтому знак функции на таком интервале легко определить по одной-единственной точке.

Проведём небольшой эксперимент. Представьте, что вы совсем не знаете, как выглядит график функции и вам необходимо найти её интервалы знакопостоянства (кстати, если действительно не знаете, таки начертите многострадальную примадонну =)).

1) Берём произвольную точку интервала . С вычислительной точки зрения проще всего взять . Подставляем её в нашу функцию:

Следовательно, функция положительна и в каждой точке интервала .

2) Берём произвольную точку интервала , здесь по удобству вне конкуренции ноль.

Снова выполняем подстановку:

А, значит, функция отрицательна и в каждой точке интервала .

3) И, наконец, обрабатываем наиболее простую точку интервала :

Поэтому функция положительна в каждой точке интервала .

Выполненные подстановки, вычисления почти всегда нетрудно выполнить устно, но в крайнем случае существует и черновик.

Фиксируем полученные результаты на числовой оси:

Да, вы не имеете никаких представлений о параболе, но совершенно точно можете сказать, что на интервалах график функции расположен ВЫШЕ оси , а на интервале - НИЖЕ данной оси.

Ответ :

Если ;
, если .

Точно так же решается целый спектр задач-«сателлитов», вот некоторые из них:

.

Проводим аналогичные действия и даём ответ .

Решить квадратичное неравенство .

Проводим аналогичные действия и даём ответ .

Найти область определения функции .

Проводим аналогичные действия, даём ответ .

Метод интервалов работает в самых примитивных случаях, например, для функции . Здесь прямая пересекает ось абсцисс в точке , при этом слева от данной точки (график ниже оси ), а справа (график выше оси ). Тем не менее, для тех, кто в танке, задача разрешима и методом интервалов.

Может ли функция быть положительно или отрицательной на всей числовой прямой? Конечно, в статье Область определения функции мы рассмотрели типовые примеры. В частности выяснили, что (парабола, полностью лежащая в верхней полуплоскости). Метод интервалов проходит и тут! Рассматриваем единственный интервал , берём из него самую удобную точку и выполняем подстановку: . А значит, функция положительна и в каждой точке интервала .