Потенциальное и соленоидальное векторные поля. Векторный потенциал поля Потенциальная функция векторного поля

Определение 1. Пусть А - векторное поле в области Функция называется потенциалом поля А в области если в этой области

Определение 2. Поле, обладающее потенциалом, называется потенциальным полем.

Поскольку в связной области частные производные определяют функцию с точностью до константы, то в такой области потенциал поля определен с точностью до аддитивной постоянной.

В первой части курса мы уже вскользь говорили о потенциале. Здесь мы обсудим это важное понятие несколько подробнее. Отметим в связи с данными определениями, что в физике при рассмотрении разного рода силовых полей потенциалом поля обычно называют такую функцию что Такой потенциал отличается от введенного определением 1 только знаком.

Пример 1. Напряженность гравитационного поля, создаваемого помещенной в начало координат точечной массой М, в точке пространства, имеющей радиус-вектор вычисляется по закону Ньютона в виде

Это сила, с которой поле действует на единичную массу в соответствующей точке пространства. Гравитационное поле (1)

потенциально. Его потенциалом в смысле определения 1 является функция

Пример 2. Напряженность Е электрического поля точечного заряда помещенного в начале координат, в точке пространства, имеющей радиус-вектор вычисляется по закону Кулона

  • Замена переменных в тройном интеграле. Примеры: случаи цилиндрических и сферических координат.
  • Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде. Элемент площади поверхности.
  • Определение криволинейного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
  • Определение криволинейного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.
  • Формула Грина. Условия того, что криволинейный интеграл на плоскости не зависит от пути интегрирования.
  • Определение поверхностного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
  • Определение поверхностного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.
  • Теорема Гаусса-Остроградского, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
  • Теорема Стокса, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
  • Условия того, что криволинейный интеграл в пространстве не зависит от пути интегрирования.
  • Скалярное поле. Градиент скалярного поля и его свойства. Вычисление градиента в декартовых координатах.
  • Определение векторного поля. Поле градиента. Потенциальные поля, условия потенциальности.
  • Поток векторного поля через поверхность. Определение дивергенции векторного поля и её свойства. Вычисление дивергенции в декартовых координатах.
  • Соленоидальные векторные поля, условия соленоидальности.
  • Циркуляция векторного поля и ротор векторного поля. Вычисление ротора в декартовых координатах.
  • Оператор Гамильтона (набла), дифференциальные операции второго порядка, связь между ними.
  • Основные понятия, относящиеся к оду первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральные кривые. Задача Коши, её геометрический смысл.
  • Интегрирование оду первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.
  • Интегрирование линейных оду первого порядка и уравнений Бернулли.
  • Интегрирование оду первого порядка в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
  • Метод введения параметра. Интегрирование оду первого порядка Лагранжа и Клеро.
  • Простейшие оду высших порядков, интегрируемые в квадратурах и допускающие понижение порядка.
  • Нормальная форма системы линейных оду, скалярная и векторная (матричная) запись. Задача Коши для нормальной системы линейных оду, её геометрический смысл.
  • Линейно-зависимые и линейно-независимые системы вектор-функций. Необходимое условие линейной зависимости. Теорема об определителе Вронского решений системы однородных линейных оду.
  • Теорема об общем решении (о структуре общего решения) нормальной системы неоднородных линейных оду.
  • Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частных решений нормальной системы неоднородных линейных оду.
  • Фундаментальная система решений нормальной системы однородных линейных оду с постоянными коэффициентами в случае простых действительных корней характеристического уравнения.
  • Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций. Необходимое условие линейной зависимости. Теорема об определителе Вронского решений однородного линейного оду.
  • Теорема об общем решении (о структуре общего решения) однородного линейного оду.
  • Теорема об общем решении (о структуре общего решения) неоднородного линейного оду.
  • Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частных решений неоднородного линейного оду.
  • Фундаментальная система решений однородного линейного оду с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения, действительных или комплексных.
  • Фундаментальная система решений однородного линейного оду с постоянными коэффициентами в случае, когда имеются кратные корни характеристического уравнения.
  • Отыскание частных решений неоднородного линейного оду с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
  • Теорема существования (локальная) решения задачи Коши для оду первого порядка.
  • Теорема единственности решения задачи Коши для оду первого порядка.

    1. Определение векторного поля. Поле градиента. Потенциальные поля, условия потенциальности.

    Векторное поле. Если каждой точке М некоторой области V пространства соответствует значение некоторой векторной величины (M ), то говорят, что в области V задано векторное поле (M ). Примеры векторных полей – поле тяготения, поля электрической и магнитной напряжённостей, поле скоростей частиц движущейся жидкости.

    Если в некоторой декартовой системе координат вектор (M ) имеет координаты Р (M ), Q (M ), R (M ), то . Таким образом, задание векторного поля (M ) эквивалентно заданию трёх скалярных полей Р (M ), Q (M ), R (M ). Будем называть векторное поле гладким , если его координатные функции - гладкие скалярные поля.

    Градиентом дифференцируемого скалярного поля u(M)=u(x,y,z) называется вектор . Т.е. сумма частных производных умноженных на соответствующие единичные вектора.

    В общем случае градиент вводится как векторная характеристика скалярного поля - то есть области, каждой точке которой соответствует значение определенного скаляра. Градиент характеризует, насколько быстро меняется скалярная величина в том или ином месте этого поля.

    Потенциальные векторные поля. Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется потенциальным, если вектор А является градиентом некоторой скалярной функции u = u(x, y, z): A = grad u = (16.7).

    При этом функция u называется потенциалом данного векторного поля.

    Выясним, при каких условиях векторное поле является потенциальным . Так как из (16.7) следует, что , То,=,=. так как смешанная производная второго порядка не зависит от порядка дифференцирования. Из этих равенств легко получаем, что rot A = 0 -условие потенциальности векторного поля .

    Ротором векторного поля (M ) в точке называется векторная величина (векторное поле):. Если выразитьчерез оператор Гамильтона набла:равен векторному произведению. Действительно,.

    1. Поток векторного поля через поверхность. Определение дивергенции векторного поля и её свойства. Вычисление дивергенции в декартовых координатах.

    Поток векторного поля через поверхность . Пусть в области D задано непрерывное векторное поле ,. Возьмем в этом векторном поле некоторую поверхностьS и выберем ее определенную сторону. Пусть – поле единичных нормалей к поверхности, соответствующее выбранной стороне. Тогда поверхностный интеграл 2-ого рода (т.к. )называется потоком вектора A через поверхность S в указанную сторону.

    Пусть . Формула Гаусса-Остроградского:

    Левую часть можно записать так: ,,. Следовательно:, так как. Это поток вектора через замкнутую поверхность. Правую часть можно записать какдивергенцию (расходимость ): .

    Дивергенцией векторного поля A в точке MÎV называется производная функции по объему в этой точке:. Дивергенцию можно записать и с помощью оператора Набла : .Дивергенция в декартовых координатах : .

    Свойства дивергенции:

    Другие свойства (на лекции не разбирали, на усмотрение сдающего):

    1. Соленоидальные векторные поля, условия соленоидальности.

    Пусть в некоторой области D задано непрерывное векторное поле (M)=(x,y,z). Потоком векторного поля через ориентированную кусочно-гладкую поверхность S, расположенную в области D, называется интеграл , где – единичный вектор нормали к поверхности S, указывающий на ее ориентацию, а – элемент площади поверхности S.

    Векторное поле называетсясоленоидальным в области D, если поток этого поля через любую кусочно-гладкую несамопересекающуюся поверхность , расположенную в D и представляющую собой границу некоторой ограниченной подобласти области D, равен нулю.

    Если дивергенция равна нулю, то есть , то поле вектораназываетсясоленоидальным .

    , поэтому поток везде, на каждом сечении трубки, одинаков.

    Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле былосоленоидальным в объемно-односвязной области D, необходимо и достаточно , чтобы во всех точках D выполнялось равенство . Где дивергенцией (“расходимость”) векторного поляназывается скалярная функция

    "

    Определение 27. Векторное поле A = {A x , A y , A z } называется потенциальным , если вектор А является градиентом некоторой скалярной функции u = u (x , y , z ) :

    A = grad u = . (119)

    При этом функция и называется потенциалом данного векторного поля.

    Примерами потенциальных полей являются поле тяготения точечной массы т , помещенной в начале координат, электрическое поле точечного заряда е , находящегося в начале координат, и другие.

    Выясним, при каких условиях векторное поле является потенциальным.

    Так как из (119) следует, что
    то


    так как смешанная производная второго порядка не зависит от порядка дифференцирования. Из этих равенств легко получаем, что

    rot A = 0 – (120)

      условие потенциальности векторного поля.

    Определение 28. Векторное поле A = {A x , A y , A z }, для которого rot A = 0, называется безвихревым .

    Из предыдущих рассуждений следует, что любое потенциальное поле является безвихревым. Можно доказать и обратное, то есть то, что любое безвихревое поле есть поле потенциальное.

    Пример 30 .

    Определить, является ли векторное поле потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциали в предположении, что в начале координат и = 0.

    Вычислим частные производные функций ,

    Следовательно,
    то естьrot F = 0 – выполнено условие (120), и поле является потенциальным.

    8. Соленоидальные и гармонические векторные поля

    Определение 29. Векторное поле A = {A x , A y , A z } называется соленоидальным в области D , если в каждой точке этой области

    div A = 0. (121)

    Замечание . Так как дивергенция характеризует плотность источников поля А , то в области, где поле соленоидально, нет источников этого поля. Примером соленоидального поля может служить поле точечного заряда е во всех точках, кроме точки, где расположен заряд.

    Условием соленоидальности поля является требование, что вектор А является ротором некоторого вектора В : A = rot B . Докажем это.

    Действительно, если , то

    div A =

    Определение 30. Скалярное поле, задаваемое функцией u = u (x , y , z ) , называется гармоническим в некоторой области, если функция и в этой области удовлетворяет уравнению Лапласа: Δ и = 0.

    Примеры: линейная функция, потенциал электрического поля точечного заряда или поля тяготения точечной массы.

    Литература

      Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969.

      Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1989.

      Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999.

      Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Т.2. М.: Наука, 1965.

      Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981.

      Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Т.2. М.: Наука, 1981.

      Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа (под редекцией А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича). – Т.2. М.: Наука, 1981.

      Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 1973.

    Поделиться с друзьями:
    Похожие публикации