Принцип остроградского гамильтона кинематические фокусы. Принцип наименьшего действия. Дневники и письма Черчилль Уинстон С Chirchill Winston S Поход Яна Гамильтона

Траектории, описывающие движения механических систем в расширенном конфигурационном и фазовом пространствах, обладают замечательным свойством - они являются экстремалями некоторой вариационной задачи, доставляют стационарные значения функционалу действие.

Рассмотрим постановку вариационной задачи в расширенном конфигурационном пространстве R"*", точками которого являются наборы (q, (). Пусть кривая у„ = {(q, t): q е R t e , 5q(/ 0)= 8q(/,) = 0). Вариация 8q(/) - произвольная функция из класса С 1 , обращающаяся в нуль на концах отрезка = 0.

А Первая вариация функционала Sy при у = у 0 согласно определению равна

и после интегрирования по частям принимает вид

Внеинтетральный член в выражении (2.3) обрашается в нуль,

так как bq k (t 0) = bq k (t y) = 0, к - 1.....л, а выражение в квадратных

скобках под знаком интеграла равно нулю, поскольку у 0 - действительная траектория, удовлетворяющая уравнениям Лагранжа (2.1). Следовательно, вариация 55(у 0) = 0. ?

Верно и обратное утверждение: если вариация 65(у*) = 0, где у* принадлежит классу окольных траекторий, то у* = у 0 - действительная траектория. Справедливость этого утверждения следует из выражения первой вариации (2.3) и основной леммы вариационного исчисления. В данном случае из равенства нулю первой вариации

и независимости вариаций 6 к - 1, ..., ливость уравнений Лагранжа второго рода

л, вытекает справед-

когда q k = q k *(t ), к= 1.....л. Это и означает, что у* - действительная траектория движения механической системы.

3.1. В случае неконсервативной системы нельзя указать функционал, стационарное значение которого достигалось на действительной траектории. Однако в этом случае эквивалентны следующие утверждения:

где q(/) - действительная траектория. Первое из вышеуказанных утверждений составляет содержание вариационного принципа Гамильтона-Остроградского для неконсервативных систем.

3.2. Можно показать, что стационарное значение функционала действие является минимумом, если разность - / 0 достаточно мала. Это обстоятельство связано с другим названием обсуждаемого принципа - принципа наименьшего действия Гамильтона- Остро граде ко го.

Вариационную задачу, рассмотренную выше, можно сформулировать в расширенном фазовом пространстве, что оказывается важным при рассмотрении вопросов интегрируемости канонических уравнений Гамильтона. Обозначим через Г = {(р + 6р. q + 8q, I ): р, q, 6р. 6q е R", te [г 0 , /,]. 5q(/ 0)= 8q(/|) = 0} кривую в расширенном фазовом пространстве и пусть при 8p = 8q = 0 кривая Г 0 является решением системы канонических уравнений Гамильтона

Все функции времени принадлежат классу С 1 . Таким образом, определено семейство окольных траекторий {Г}, которому принадлежит действительная траектория Г 0 (рис. 46). Функционал действие с учетом связи между функциями Лагранжа и Гамильтона принимает вид

Здесь буквы р, q употреблены для краткости вместо букв р + 8р, q + 8q. Вычисляя вариацию функционала 5[Г] на действительной траектории, получим

Интегрируя по частям с учетом граничных условий, найдем

Отсюда следует, что вариация 85|Г 0 1 = 0, если р(/), q(f) удовлетворяют каноническим уравнениям Гамильтона (2.4), и. наоборот, из условия независимости вариаций 8р(г), 6q(/) следуют уравнения (2.4) согласно основной лемме вариационного исчисления.

Таким образом, доказана справедливость принципа наименьшего действия в фазовом пространстве системы: функционал действие 5[Г], заданный на пространстве окольных траекторий (Г|. принимает стационарное значение на действительной траектории, т.е. 85[Г 0 1 = 0.

Рис. 46

• 3.3. При построении функционала (2.5) использовалась связь между функциями Лагранжа и Гамильтона и преобразование Лежандра р *= V^?. В дальнейшем переменные р, q рассматривались как независимые и из стационарности функционала действие были получены обратное преобразование Лежандра q = V p H и динамическое уравнение р = -У Я Н.
• 3.4. Класс окольных траекторий может быть сужен путем введения условий бр(/ 0)= бр(Г|) = 0. Семейство окольных траекторий в этом случае обозначим {Г*}, Г* = {(р + 8р, q + 6q, t ): р, q, Sp, 6q e R n , 5q(/,)= 6p(/,) = 0, /" = 0, 1}. Легко проверить, что стационарное значение функционала действие 5[Г*| на этом пространстве окольных траекторий с закрепленными концами также достигается на действительном движении механической системы. Это утверждение составляет принцип наименьшего действия в форме Пуанкаре.

Когда я впервые узнал об этом принципе, у меня возникло ощущение какой-то мистики. Такое впечатление, что природа таинственным образом перебирает все возможные пути движения системы и выбирает из них самый лучший.

Сегодня я хочу немного рассказать об одном из самых замечательных физических принципов – принципе наименьшего действия.

Предыстория

При отражении свет также двигается таким образом, чтобы добраться из одной точки в другую кратчайшим путем. На картинке кратчайшим будет зеленый путь, при котором угол падения равен углу отражения. Любой другой путь, например, красный, окажется длиннее.

В 1662 Пьер Ферма предположил, что скорость света в плотном веществе, например, в стекле, меньше, чем в воздухе. До этого общепринятой была версия Декарта, согласно которой скорость света в веществе должна быть больше, чем в воздухе, чтобы получался правильный закон преломления. Для Ферма предположение, что свет может двигаться в более плотной среде быстрее, чем в разреженной казалось противоестественным. Поэтому он предположил, что все в точности наоборот и доказал удивительную вещь – при таком предположении свет преломляется так, чтобы достичь место назначения за минимальное время.

Все эти факты наводили на мысль, что природа действует каким-то рациональным образом, свет и тела двигаются наиболее оптимально, затрачивая как можно меньше усилий. Но что это за усилия, и как их посчитать оставалось загадкой.

В 1744 Мопертюи вводит понятие «действия» и формулирует принцип, согласно которому истинная траектория частицы отличается от любой другой тем, что действие для неё является минимальным. Однако сам Мопертюи, так и не смог дать четкого определения чему равно это действие. Строгая математическая формулировка принципа наименьшего действия была разработана уже другими математиками – Эйлером, Лагранжем, и окончательно была дана Уильямом Гамильтоном:

Свободное тело

Так как же нужно ехать, чтобы добраться к пункту к точно назначенному времени и израсходовать топлива как можно меньше? Ясно, что ехать нужно по прямой. При увеличении проезжаемого расстояния топлива израсходуется точно не меньше. А дальше можно избрать разные тактики. Например, можно быстро приехать в пункт заранее и просто посидеть, подождать, когда наступит время . Скорость езды, а значит и потребление топлива в каждый момент времени при этом получится большой, но ведь и время езды сократится. Возможно, общий расход топлива при этом будет не так уж и велик. Или можно ехать равномерно, с одной и той же скоростью, такой, чтобы, не торопясь, точно приехать в момент времени . Или часть пути проехать быстро, а часть медленнее. Как же лучше ехать?

Оказывается, что самый оптимальный, самый экономный способ езды – это ехать с постоянной скоростью, такой, чтобы оказаться в пункте в точно назначенное время . При любом другом варианте топлива израсходуется больше. Можете сами проверить на нескольких примерах. Причина в том, что потребление топлива возрастает пропорционально квадрату скорости. Поэтому при увеличении скорости потребление топлива возрастает быстрее, чем сокращается время езды, и общий расход топлива также возрастает.

Итак, мы выяснили, что если автомобиль в каждый момент времени потребляет топливо пропорционально своей кинетической энергии, то самый экономный способ добраться из точки в точку к точно назначенному времени – это ехать равномерно и прямолинейно, точно так, как двигается тело в отсутствие действующих на него сил. Любой другой способ движения приведет к большему общему расходу топлива.

В поле тяжести

Потребление топлива в каждый момент времени получается равным кинетической энергии минус потенциальной энергии автомобиля (минус потенциальной энергии, потому что установленный аппарат вырабатывает топливо, а не тратит). Теперь наша задача наиболее экономного движения автомобиля между пунктами и становится сложнее. Прямолинейное равномерное движение оказывается в данном случае не самым эффективным. Оказывается, более оптимально - немного набрать высоты, какое-то время там задержаться, выработав побольше топлива, а затем уже спуститься в точку . При правильной траектории полета общая выработка топлива за счет набора высоты перекроет дополнительные расходы топлива на увеличение длины пути и увеличения скорости. Если аккуратно посчитать, то самым экономным способом для автомобиля будет лететь по параболе, точно по такой траектории и с точно такой скоростью, с какой летел бы камень в поле тяжести Земли.

Функция Лагранжа и принцип наименьшего действия

Аналог общего количества израсходованного топлива за все время движения, т.е. значение Лагранжиана, накопленное за все время движения, называется «действием».

Принцип наименьшего действия состоит в том, что тело двигается таким образом, чтобы действие (которое зависит от траектории движения) было минимальным. При этом не нужно забывать, что заданы начальное и конечное условия, т.е. где тело находится в момент времени и в момент времени .

При этом тело не обязательно должно двигаться в однородном поле тяготения, которое мы рассматривали для нашего автомобиля. Можно рассматривать совершенно другие ситуации. Тело может колебаться на резинке, качаться на маятнике или летать вокруг Солнца, во всех этих случаях оно движется так, чтобы минимизировать «общий расход топлива» т.е. действие.

Если система состоит из нескольких тел, то Лагранжиан такой системы будет равен суммарной кинетической энергии всех тел минус суммарной потенциальной энергии всех тел. И опять, все тела будут согласованно двигаться так, чтобы действие всей системы при таком движении было минимальным.

Не все так просто

Например, возьмем шарик и поместим его в пустое пространство. На некотором отдалении от него поставим упругую стенку. Допустим, мы хотим, чтобы через некоторое время шарик оказался в том же самом месте. При таких заданных условиях шарик может двигаться двумя разными способами. Во-первых, он может просто оставаться на месте. Во-вторых, можно его толкнуть по направлению к стенке. Шарик долетит до стенки, отскочит от нее и вернется обратно. Понятно, что можно толкнуть его с такой скоростью, чтобы он вернулся в точно нужное время.

Как же спасти принцип наименьшего действия, чтобы он был справедлив и в таких ситуациях? Об этом мы поговорим в .

Использование принципа Даламбера позволяет не учитывать силы реакции связей и дает возможность применять произвольные обобщенные координаты. Однако, получение уравнений в обобщенных координатах может представлять трудности из-за наличия в принципе Даламбера (2.13) скалярных произведений. С помощью преобразований координат уравнения (2.13) можно преобразовать к виду, содержащему только скалярные функции обобщенных координат. Мы укажем другой путь, когда вначале от принципа Даламбера переходят к интегральному вариационному принципу. Получение уравнений механики из вариационного принципа позволило получить много важных результатов. В дальнейшем вариационные принципы стали использовать и в других областях теоретической физики.

Рассмотрим случай, когда силы имеют потенциал. Тогда виртуальная работа сил запишется в форме (2.14)

В общем случае потенциальная энергия может зависеть от времени. Поскольку вариация вычисляется при фиксированном , это никак не сказывается на выводах. При использовании обобщенных координат потенциальная энергия в конечном счете является функцией обобщенных координат. Тогда вариация потенциальной энергии будет иметь вид

(2.15)

По аналогии с выражениями (1.12) частные производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам называют Обобщенными силами:

Для того чтобы преобразовать слагаемые с ускорениями к вариации от скалярной функции, предварительно проинтегрируем уравнение (2.9) по времени: . (2.17)

(2.18)

Будем считать, что начальное в момент времени И конечное в момент времени положения системы материальных точек заданы. Поэтому для этих моментов времени равно нулю, и первое слагаемое в (2.18) обращается в нуль. Так как вариации координат рассматриваются для фиксированных моментов времени, то производную по времени и варьирование можно переставить местами. Второе слагаемое в (2.18) преобразуется к виду

(2.19)

Такие же преобразования можно произвести для всех координат всех материальных точек. Учтем еще выражение (2.14) виртуальной работы через потенциальную функцию. В результате для интеграла (2.17) получим

. (2.20) Разность кинетической и потенциальной энергии, которая входит в последний из интегралов в формуле (2.20), называется Функцией Лагранжа и обозначается буквой . Функция Лагранжа зависит от координат и скоростей материальных точек. При переходе к обобщенным координатам она выражается через обобщенные координаты и обобщенные скорости:

Время может и не входить в функцию Лагранжа. Интеграл из (2.20) обозначается буквой и называется Действием; (2.22)

После введения этих обозначений условие (2.20) принимает вид . (2.23)

Вариация действия равна нулю. Это означает, что действие имеет экстремум, принимает наибольшее или наименьшее значение, если в интеграл (2.22) в качестве зависимости подставить функции, описывающие движение механической системы. Поэтому условие экстремума действия можно использовать для отыскания закона движения системы материальных точек.

Теперь можно сформулировать Интегральный принцип, называемый Принципом Гамильтона: Движение механической системы за конечный промежуток вре­мени от До Происходит таким образом, что действие имеет при этом экстремум.

Для консервативных систем принцип Гамильтона эквивалентен законам Ньютона. Поэтому он может считаться основным принципом механики, из которого выводятся все уравнения механики.. Это - вариационный принцип, так как зависимость обобщенных координат от времени находится из условия минимума интеграла действия. Одним из преимуществ применения принципа Гамильтона является то, что в него входят только скалярные функции, которые можно пересчитать к произвольным обобщенным координатам. Поэтому уравнения, которые вытекают из вариационного принципа, оказываются сразу записанными в обобщенных координатах. Получение уравнений механики из вариационного принципа так же позволило решить ряд фундаментальных вопро­сов классической механики.

ГАМИЛЬТОНА - ОСТРОГРАДСКОГО ПРИНЦИП

Стационарного действия принцип,- общий интегральный вариационный принцип классической механики, установленный У.

Гамильтоном для голономных систем, стесненных идеальными стационарными связями, и обобщенный М. В. Остроградским на нестационарные , связи. Согласно Г. - О.

имеет стационарное значение по сравнению с близкими кинематически-возможными движениями, для которых начальное и конечное положения системы и время движения одинаковы с таковыми для действительного движения. Здесь Т - кинетическая, U - потенциальная энергии, L-T - U функция Лагранжа системы. В нек-рых случаях истинное соответствует не только стационарной точке функционала S, но и доставляет ему наименьшее значение. Поэтому Г. -О. п. часто наз. принципом наименьшего действия. В случае непотенциальных активных сил F v условие стационарности действия dS= 0 заменяется условием

Лит. : Hamilton W., Report of the Fourth Meeting of the British Association for the Advancement of Science, L., 1835, p. 513-18; Оstrоgradskу M., "Mem. de 1"Acad. des Sci. de St-Petershourg", 1850, t. 8, № 3, p. 33-48.

В. В. Румянцев.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ГАМИЛЬТОНА - ОСТРОГРАДСКОГО ПРИНЦИП" в других словарях:

Принцип Фишера эволюционная модель, которая объясняет, почему преобладающим в природе является соотношение полов разновидностей живых организмов, примерно 1:1; при котором гены для производства большего числа особей обоего пола… … Википедия

Гамильтона (также просто принцип Гамильтона), точнее принцип стационарности действия способ получения уравнений движения физической системы при помощи поиска стационарного (часто экстремального, обычно, в связи со сложившейся традицией… … Википедия

Рефракция волн по Гюйгенсу … Википедия

В методологии науки утверждение, что любая новая научная теория при наличии старой, хорошо проверенной теории находится с ней не в полном противоречии, а даёт те же следствия в некотором предельном приближении (частном случае). Например, закон… … Википедия

Дискретный принцип максимума Понтрягина для дискретных по времени процессов управления. Для такого процесса М. п. может не выполняться, хотя для его непрерывного аналога, получающегося заменой конечно разностного оператора на дифференциальный… … Математическая энциклопедия

Или начало Гамильтона, в механике и математической физике служит для получения дифференциальных уравнений движения. Этот принцип распространяется на всякие материальные системы, каким бы силам они ни были подвержены; сначала мы выскажем его в том … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Постулат квант. механики, требующий совпадения её физ. следствий в предельном случае больших квантовых чисел с результатами классич. теории. В С. п. проявляется тот факт, что квант. эффекты существенны лишь при рассмотрении микрообъектов, когда… … Физическая энциклопедия

вариационный принцип Гамильтона - Hamiltono variacinis principas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hamilton variation principle vok. Hamiltonsches Variationsprinzip, n rus. вариационный принцип Гамильтона, m pranc. principe variationnel d’Hamilton, m … Fizikos terminų žodynas

Постулат квантовой механики (См. Квантовая механика), требующий совпадений её физических следствий в предельном случае больших квантовых чисел (См. Квантовые числа) с результатами классической теории. В С. п. проявляется тот факт, что… … Большая советская энциклопедия

- (волновая механика), теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элем. ч ц, атомов, молекул, ат. ядер) и их систем (напр., кристаллов), а также связь величин, характеризующих ч цы и системы, с физ. величинами,… … Физическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Действие (физика). Действие Размерность L2MT−1 Действие в физике скалярная физическая величина, являющаяс … Википедия

Книги

• Принципы движения экономической системы. Монография , Куснер Юрий Семенович, Царев Игорь Геннадьевич. Представлены в аналитическом виде основные уравнения движения экономической системы и решена задача поиска адекватных методов управления ее движением. Использован математический аппарат,…

ЛЕКЦИЯ 2 ЭЛЕКТРОН - ВОЛНА И ЧАСТИЦА

Обратим внимание на такой эксперимент. Электроны, определенной энергии, вылетая из источника, по одиночке проходят через маленькие отверстия в поставленной на их пути преграде, а затем попадают на фотопластинку, или на люминесцирующий экран, где оставляют след. После проявления фотопластинки на ней можно увидеть совокупность чередующихся светлых и темных полос, т.е. дифракционную картину, которая представляет собой довольно сложное физическое явление, включающее, как, собственно, дифракцию (т.е. огибание волной препятствия) так и интерференцию (наложение волн).

Не останавливаясь на деталях, рассмотрим это явление. Отметим следующие моменты:

− и дифракция, и интерференция, наблюдаемая в таком опыте

с электронами, говорят о проявлении ими (и, вообще, микрочастицами) волновых свойств, ибо только волны способны огибать препятствие и налагаться друг на друга в месте встречи;

− даже, когда электроны проходят через отверстие по одиночке (т.е. с большим интервалом) результирующая дифракционная картина остается такой же, как при массированном обстреле, что говорит

о проявлении волновых свойств каждым отдельным электроном;

− чтобы объяснить дифракцию электронов, необходимо сопоставить с их движением какую-то волновую функцию, свойства которой должны определять наблюдаемую дифракционную картину. Но раз есть волновая функция, то должно быть и волновое уравнение, решением которого эта функция является.

Таким образом, мы начнем изучение не самого уравнения, а функции, т.е. решения волнового уравнения. Но вначале мы вспомним принцип Гамильтона, работающий в квантовой механике как аксиома.

ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА

В 1833г. сэр Гамильтон в работе "Об общем методе выражения путей света и планет с помощью коэффициентов некоторой характеристической функции" изложил идею, которая состояла в следующем:

Изложение законов механики начинается обычно с законов Ньютона. Но, можно начать с "другого конца", а именно с формулировки весьма общего утверждения, именуемого принципом наименьшего действия . Согласно этому принципу реальному движению механической системы (в отличии от всех других ее мыслимых

движений) отвечает экстремальное (а для достаточно малого промежутка времени ∆ t = t 2 − t 1 − минимальное) значение интеграла, назы-

ваемого "действием" S = ∫ Ldt ,

где L - некоторая функция координат, скоростей и, вообще говоря, времени, именуемая "функцией Лагранжа".

Как показал Гамильтон, любой величине в механике отвечает аналогичная ей величина в геометрической оптике. Так, распространение плоской волны можно представить, как перемещение в пространстве поверхности постоянной фазы ϕ = const . В то же время движению системы тождественных материальных точек вдоль пучка траекторий можно сопоставить перемещение в пространстве некоторой поверхности постоянного действия S = const . Аналогия "фаза"- "действие" может быть продолжена, тогда "подобными" окажутся такие величины как энергия и частота, а также импульс и волновой вектор, (то есть, подобны формулы, хотя смысл различен).

E = − ∂ ∂ S t ; ω = − ∂ ∂ ϕ t ; p = S ; k = ϕ .

− ″ набла″ оператор, введенный Гамильтоном

= ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k .

Обнаруженная Гамильтоном оптико− механическая аналогия более 100 лет не привлекала внимания. И только де Бройль понял значение этой аналогии для двойственной природы микрообъекта (на соотношении де Бройля мы остановимся позднее). Однако для дальнейшей работы нам понадобится сопоставить объект с массой покоя и волну.

ФОРМУЛА ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ.

Согласно принципу Гамильтона одномерному движению электрона (объекта с массой покоя) в направление оси "x" можно сопоставить плоскую монохроматическую волну:

Ψ − амплитуда (с максимальным абсолютным значением A ) ,

λ - длина волны, ν - частота, t - время.

Введем круговую частоту ω = 2 πν и волновой вектор k = 2 λ π n ,

где n − единичный вектор, указывающий направление перемещения плоской волны; Тогда:

Ψ = Acos(kx − ω t)

Ψ = A sin(kx − ω t ) (6)

Выражение (kx − ω t ) называется фазой волны (ϕ ).

Удобнее записать выражение (6) в эквивалентной комплексной форме:

Ψ = A (cosϕ + i sinϕ ) = Ae i ϕ , (7)

где A − тоже может быть комплексным. Выражение e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ (8) − формула Эйлера.

Функция (8) периодична с периодом 2 π n (n = 0, ± 1; ± 2;...). В

(7) имеются как волновые так и дискретные характеристики соответствующие периоду (8). Таким образом, мы сделали первый шаг к получению волновой функции, которая сопоставима движению свободного электрона, написав формулу (7).

ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПОИСКА ЭЛЕКТРОННЫХ ОБОЛОЧЕК.

Итак, электрону может быть сопоставлена частица без массы покоя, проявляющая волновые свойства. Этот факт был на основании принципа Гамильтона сначала предсказан выдающимся французским физиком Луи де Бройлем в 1924г, а затем установлен экспериментально в 1927г. американцами Дж. Дэвиссоном и А. Джермером.

Луи де Бройль предположил, что свободно движущемуся электрону с импульсом p и энергией E можно сопоставить волну с волновым вектором k и частотой ω , причем:

(Вспомним, что h = 2 h π = 1,054 10 − 34 Дж с)

Эти соотношения сыграли выдающуюся роль, в истории создания квантовой физики, поскольку являются соотношениями, доказанными экспериментально. Разберемся в сути экспериментов Дэвиссона и Джеррмера. Дэвиссон, изучая отражение электронов от твердых тел, стремился "прощупать" конфигурацию электрического поля, окружающего отдельный атом, т.е. искал электронные оболоч-

ки атомов. В 1923г. совместно со своим учеником Г. Кансманом он получил кривые распределения рассеянных электронов по углам в зависимости от скорости первоначального (нерассеянного) пучка.

Схема установки очень проста, изменяли энергию пучка, угол падения на мишень, положение детектора. Согласно классической физике, рассеянные электроны должны вылетать во всех направлениях. Их интенсивность не должна зависеть ни от углов, ни от энергии. Так и получалось в опытах Дэвиссона и Кансмана. Почти..., но небольшие максимумы на кривых распределения по углам от энергий все-таки были, их объяснили неоднородностью полей около атомов мишени. Немецкие физики Дж. Франк и В. Эльзассер предположили, что это − от дифракции электронов. Спор помог разрешить случай. В 1927г. Девиссон вместе с Джермером проводил опыт с никелевой пластинкой. В установку случайно попал воздух, и поверхность металла окислилась. Пришлось удалить окисную пленку отжигом кристалла в высокотемпературной печи в восстановительной среде, после чего опыт продолжили. Но результаты стали иными. Вместо монотонного (или почти монотонного) изменения интенсивности рассеянных электронов от угла наблюдались ярко выраженные максимумы и минимумы, положение которых зависело от энергии электронов. Причина столь резкого изменения картины рассеяния − образование в результате обжига монокристаллов никеля, которые служили дифракционными решетками. Если де Бройль прав, и электроны обладают волновыми свойствами, то картина рассеяния должна напоминать рентгенограмму, а расчет рентгенограммы проводится по формуле Брэгга, которая была уже известна. Так, для случая, представленного на рисунке, угол α между плоскостью Брэгга и направлением максимального рассеяния электронов составляет 650 . Измеренное рентгенографическим методом расстояние "а" между плоскостями в монокристалле Ni равно 0,091 нм.

Уравнение Брэгга, описывающее положение максимумов при дифракции, имеет вид: n λ = 2asin α (n - целое число).

Принимая n = 1 и используя экспериментальные значения ″ а ″

и ″ α ″ , получаем для λ :

λ = 2 0,091 sin 650 = 0,165 нм.

Формула де Бройля:

что превосходно согласуется с экспериментом. Впоследствии аналогичные результаты были получены Том-

соном (1928г) и в 1930г многими другими физиками.

Таким образом, как эксперимент, так и теория показали двойственность поведения электрона. Несмотря на революционность этой точки зрения, внутренняя структура электрона все же оставалась неясной. Однако, в науке часто происходят события, благодаря которым удается обойти непреодолимые участки познания и сделать определенные шаги на пути прогресса обходным путем.

В 1920 годах на заре квантовой механики физики поставили перед собой другую задачу − построить механику микромира, т.е. найти законы, определяющие движение электрона в различных ус-

ловиях, не прибегая к моделям, описывающим его внутреннюю структуру.

Итак: имеем микрообъект с отрицательным зарядом и определенной массой, совмещающей в себе каким-то образом свойства волны и частицы. Спрашивается: каковы особенности физического описания движения такого микрообъекта? Одна особенность уже ясна. Движение без потери энергии может совершать только частица без массы покоя, имеющая исключительно волновые свойства, то есть фотон. Но другая особенность этого объекта заключается в том, что он лишен покоя. Объединение этих двух особенностей микрочастицы требует специальных аксиом, или, принципов. Один из важнейших принципов описания таких объектов, которые в неуловимые моменты меняют свою суть и отражают то волновые, то корпускулярные свойства − принцип неопределенности.