Урок тригонометрические функции их свойства. Методическая разработка урока тригонометрические функции, их свойства и графики. Подготовка к ЕГЭ по математике
Тема урока: тригонометрические функции, их свойства и графики.
Тип урока: изучения и первичного закрепления новых знаний.
Форма обучения: классно-урочная.
Форма деятельности: фронтальная и индивидуальная.
Цель урока: знакомство с тригонометрическими функциями; формирование знаний и умений в построение графиков тригонометрических функций.
Задачи урока:
1. Образовательные:
Дать определения тригонометрическим функциям;
Рассмотреть основные свойства тригонометрических функций;
Показать графики тригонометрических функций.
2. Развивающие:
Способствовать развитию умений анализировать, устанавливать связи, причины и следствия;
Предвидеть возможные ошибки и способы их устранения;
Способствовать повышению концентрации внимания, развитию памяти и речи.
3. Воспитательные:
Способствовать развитию интереса к предмету «Математика»;
Способствовать развитию самостоятельности мышления;
В целях решения задач эстетического воспитания содействовать в ходе урока опрятному и грамотному построению графиков функций.
Методы обучения: словесные методы (рассказ, объяснение); наглядные методы (демонстрация, ТСО); практические методы.
Оборудование: компьютер, проектор, раздаточный материал.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Разработка урока по модульной технологии содержит конспект первого урока по теме: "Показательная функция"...
Бинарный урок был проведен в муниципальном казенном общеобразовательном учреждении "общеобразовательная школа №30" г. Белгорода. В данном образовательном учреждении обучаются дети с ограниченными возм...
На этом уроке мы рассмотрим основные тригонометрические функции, их свойства и графики , а также перечислим основные типы тригонометрических уравнений и систем . Кроме этого, укажем общие решения простейших тригонометрических уравнений и их частные случаи .
Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов задания В5 и С1 .
Подготовка к ЕГЭ по математике
Эксперимент
Урок 10. Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и их системы.
Теория
Конспект урока
Тригонометрические функции и их свойства
Мы с вами уже многократно применяли термин «тригонометрическая функция». Еще на первом уроке этой темы мы определили их с помощью прямоугольного треугольника и единичной тригонометрической окружности. Используя такие способы задания тригонометрических функций, мы уже можем сделать вывод, что для них одному значению аргумента (или угла) соответствует строго одно значение функции, т. е. мы вправе называть синус, косинус, тангенс и котангенс именно функциями.
На этом уроке самое время попробовать абстрагироваться от рассмотренных ранее способов вычисления значений тригонометрических функций. Сегодня мы перейдем к привычному алгебраическому подходу работы с функциями, мы рассмотрим их свойства и изобразим графики.
Что касается свойств тригонометрических функций, то особое внимание следует обратить на:
Область определения и область значений, т. к. для синуса и косинуса есть ограничения по области значений, а для тангенса и котангенса ограничения по области определения;
Периодичность всех тригонометрических функций, т. к. мы уже отмечали наличие наименьшего ненулевого аргумента, добавление которого не меняет значение функции. Такой аргумент называют периодом функции и обозначают буквой . Для синуса/косинуса и тангенса/котангенса эти периоды различны.
Функция синус и ее график
Рассмотрим функцию:
1) Область определения ;
2) Область значений 
;
3) Функция нечетная 
;
Построим график функции . При этом удобно начинать построение с изображения области, которая ограничивает график сверху числом 1 и снизу числом , что связано с областью значений функции. Кроме того, для построения полезно помнить значения синусов нескольких основных табличных углов, например, что . Это позволит построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать ее вправо и влево, пользуясь тем, что картинка будет повторяться со смещением на период, т. е. на .
Функция косинус и ее график
Теперь рассмотрим функцию:
Основные свойства этой функции:
1) Область определения ;
2) Область значений ;
3) Функция четная 
Из этого следует симметричность графика функции относительно оси ординат;
4) Функция не является монотонной на всей своей области определения;
5) Функция периодична с периодом .
Построим график функции . Как и при построении синуса удобно начинать с изображения области, которая ограничивает график сверху числом 1 и снизу числом , что связано с областью значений функции. Также нанесем на график координаты нескольких точек, для чего необходимо помнить значения косинусов нескольких основных табличных углов, например, что . С помощью этих точек мы можем построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать ее вправо и влево, пользуясь тем, что картинка будет повторяться со смещением на период, т. е. на .
Функция тангенс и ее график
Перейдем к функции:
Основные свойства этой функции:
1) Область определения кроме , где . Мы уже указывали в предыдущих уроках, что не существует. Это утверждение можно обобщить, учитывая период тангенса;
2) Область значений , т. е. значения тангенса не ограничены;
3) Функция нечетная 
;
4) Функция монотонно возрастает в пределах своих так называемых веток тангенса, которые мы сейчас увидим на рисунке;
5) Функция периодична с периодом .
Построим график функции . При этом удобно начинать построение с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, т. е. и т. д. Далее изображаем ветки тангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. При этом не забываем, что каждая ветка монотонно возрастает. Все ветки изображаем одинаково, т. к. функция имеет период, равный . Это видно по тому, что каждая ветка получается смещением соседней на вдоль оси абсцисс.
Функция котангенс и ее график
И завершаем рассмотрением функции:
Основные свойства этой функции:
1) Область определения кроме , где . По таблице значений тригонометрических функций мы уже знаем, что не существует. Это утверждение можно обобщить, учитывая период котангенса;
2) Область значений , т. е. значения котангенса не ограничены;
3) Функция нечетная 
;
4) Функция монотонно убывает в пределах своих веток, которые похожи на ветки тангенса;
5) Функция периодична с периодом .
Построим график функции . При этом, как и для тангенса, удобно начинать построение с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, т. е. и т. д. Далее изображаем ветки котангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. В этом случае учитываем, что каждая ветка монотонно убывает. Все ветки аналогично тангенсу изображаем одинаково, т. к. функция имеет период, равный .
Вычисление периодов тригонометрических функций со сложным аргументом
Отдельно следует отметить тот факт, что у тригонометрических функций со сложным аргументом может быть нестандартный период. Речь идет о функциях вида:
У них период равен . И о функциях:
У них период равен .
Как видим, для вычисления нового периода стандартный период просто делится на множитель при аргументе. От остальных видоизменений функции он не зависит.
Подробнее разобраться и понять, откуда берутся эти формулы, вы сможете в уроке про построение и преобразование графиков функций.
Тригонометрические уравнения и методы их решения
Мы подошли к одной из самых главных частей темы «Тригонометрия», которую мы посвятим решению тригонометрических уравнений. Умение решать такие уравнения важно, например, при описании колебательных процессов в физике. Представим, что вы на спортивной машине проехали несколько кругов на картинге, определить сколько времени вы уже участвуете в гонке в зависимости от положения машины на трассе поможет решение тригонометрического уравнения.
Запишем простейшее тригонометрическое уравнение:
Решением такого уравнения являются аргументы, синус которых равен . Но мы уже знаем, что из-за периодичности синуса таких аргументов существует бесконечное множество. Таким образом, решением этого уравнения будут и т. п. То же самое относится и к решению любого другого простейшего тригонометрического уравнения, их будет бесконечное количество.
Тригонометрические уравнения делятся на несколько основных типов. Отдельно следует остановиться на простейших, т. к. все остальные к ним сводятся. Таких уравнений четыре (по количеству основных тригонометрических функций). Для них известны общие решения, их необходимо запомнить.
Простейшие тригонометрические уравнения и их общие решения выглядят следующим образом:
Обратите внимание, что на значения синуса и косинуса необходимо учитывать известные нам ограничения. Если, например, , то уравнение не имеет решений и применять указанную формулу не следует.
Кроме того, указанные формулы корней содержат параметр в виде произвольного целого числа . В школьной программе это единственный случай, когда решение уравнения без параметра содержит в себе параметр. Это произвольное целое число показывает, что можно выписать бесконечное количество корней любого из указанных уравнений просто подставляя вместо по очереди все целые числа.
Ознакомиться с подробным получением указанных формул вы можете, повторив главу «Тригонометрические уравнения» в программе алгебры 10 класса.
Отдельно необходимо обратить внимание на решение частных случаев простейших уравнений с синусом и косинусом. Эти уравнения имеют вид:
К ним не следует применять формулы нахождения общих решений. Такие уравнения удобнее всего решаются с использованием тригонометрической окружности, что дает более простой результат, чем формулы общих решений.
Например, решением уравнения является 
. Попробуйте сами получить этот ответ и решить остальные указанные уравнения.
Кроме указанного наиболее часто встречающегося типа тригонометрических уравнений существуют еще несколько стандартных. Перечислим их с учетом тех, которые мы уже указали:
1) Простейшие , например, ;
2) Частные случаи простейших уравнений , например, ;
3) Уравнения со сложным аргументом
, например, 
;
4) Уравнения, сводящиеся к простейшим путем вынесения общего множителя , например, ;
5) Уравнения, сводящиеся к простейшим путем преобразования тригонометрических функций , например, ;
6) Уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью замены , например, ;
7) Однородные уравнения , например, ;
8) Уравнения, которые решаются с использованием свойств функций
, например, 
. Пусть вас не пугает, что в этом уравнении две переменные, оно при этом решается;
А также уравнения, которые решаются с использованием различных методов.
Системы тригонометрических уравнений и методы их решения
Кроме решения тригонометрических уравнений необходимо уметь решать и их системы.
Наиболее часто встречаются системы следующих типов:
1) В которых одно из уравнений степенное
, например, 
;
2) Системы из простейших тригонометрических уравнений
, например, 
.
На сегодняшнем уроке мы рассмотрели основные тригонометрические функции, их свойства и графики. А также познакомились с общими формулами решения простейших тригонометрических уравнений, указали основные типы таких уравнений и их систем.
В практической части урока мы разберем методы решения тригонометрических уравнений и их систем.
Вставка 1. Решение частных случаев простейших тригонометрических уравнений .
Как мы уже говорили в основной части урока частные случаи тригонометрических уравнений с синусом и косинусом вида:
имеют более простые решения, чем дают формулы общих решений.
Для этого используется тригонометрическая окружность. Разберем метод их решения на примере уравнения .
Изобразим на тригонометрической окружности точку, в которой значение косинуса равно нулю, оно же является координатой по оси абсцисс. Как видим, таких точек две. Наша задача указать чему равен угол, который соответствует этим точкам на окружности.
 |
Начинаем отсчет от положительного направления оси абсцисс (оси косинусов) и при откладывании угла попадаем в первую изображенную точку, т. е. одним из решений будет это значение угла. Но нас же еще устраивает угол, который соответствует второй точке. Как попасть в нее?
Для этого необходимо к уже отложенному углу добавить развернутый угол . Второй угол, который является решением уравнения, равен . Но нельзя забывать, что это еще не все, т. к. мы можем построить угол больший полного круга, и он еще раз попадет в первую точку и также будет решением нашего уравнения. Для этого необходимо прибавить ко второму вычисленному углу еще раз , и получим значение . Продолжать эти действия можно бесконечное количество раз.
Если выписать первые три полученных нами корня уравнения, то можно увидеть закономерность:
, , , …и выписать формулу для всех корней:
Как видим, эта формула действительно выглядит проще общего решения уравнения с косинусом, хотя бы потому, что в ней отсутствует «». Однако это не значит, что общая формула даст неверное решение.
Аналогично можно получить решения для всех остальных указанных частных случаев тригонометрических уравнений.
1) Алгебра 9 класс: "Функция y=sinx, её свойства и график"
2) Алгебра 9 класс: "Функция y=cosx. Её свойства и график"
3) Алгебра 9 класс: "Функция y=cos t, её свойства и график"
4) Алгебра 9 класс: "Простейшие тригонометрические уравнения и сопутствующие задачи"
5) Алгебра 9 класс: "Элементы теории тригонометрических функций. Функция y=sinx"
6) Алгебра 9 класс: "Элементы теории тригонометрических функций. Функция y=cosx"
7) Алгебра 10 класс: "Функция y=sinx, ее основные свойства и график"
8) Алгебра 10 класс: "Функция y=sinx, её свойства, график и типовые задачи"
9) Алгебра 10 класс: "Функция y=cos t, её основные свойства и график"
10) Алгебра 10 класс: "Функция y=cos t, её свойства, график и типовые задачи"
11) Алгебра 10 класс: "Периодичность функций y=sin t, y=cos t"
12) Алгебра 10 класс: "Как построить график функции y=mf(x), если известен график функции y=f(x)"
13) Алгебра 10 класс: "Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x)"
14) Алгебра 10 класс: "Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x). Примеры построения"
15) Алгебра 10 класс: "График гармонического колебания"
16) Алгебра 10 класс: "Функция y=tgx, ее свойства и график"
17) Алгебра 10 класс: "Функция y=сtgx, ее свойства и график"
18) Алгебра 10 класс: "Первые представления о решении тригонометрических уравнений"
19) Алгебра 10 класс: "Простейшие тригонометрические уравнения"
Алгебра и начала анализа 10 класс УМК: А.Г. Мордкович Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы в 2 ч. Ч. 1. Учебник; А.Г. Мордкович Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы в 2 ч. Ч. 2. задачник; А.Г. Мордкович, П.В. Семенов Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы. Методическое пособие для учителя. Уровень обучения: базовый Тема урока: Повторение. Тригонометрические функции и их свойства Общее количество часов, отводимое на итоговое обобщающее повторение 12часов. На обобщение и повторение данной темы «Тригонометрические функции и их свойства» отводится 3 часа. Урок № 1 Цели: Образовательные: обобщить и систематизировать знания обучающихся по изученной теме, провести контроль уровня усвоения материала; Развивающие: развитие математического мышления, интеллектуальных и познавательных способностей, развитие умения обосновать свое решение, контролировать и оценивать результаты своих действий; Воспитательные: воспитание культуры общения, познавательной активности, чувства ответственности за выполненную работу, дисциплинированности, аккуратности, самостоятельности. Задачи: Обобщить представление о числовой окружности, о числовой окружности на координатной плоскости. Отрабатывать умения находить значение синуса, косинуса на числовой окружности. Отрабатывать навыки и умения построения графиков функций, . Развивать творческие способности в построении графиков функций и, зная. В результате изучения данной темы: У учащихся формируются ключевые компетенции - способность самостоятельно действовать в ситуации неопределённости при решении актуальных для них проблем – умением мотивировано отказываться от образца, искать оригинальные решения Учащихся демонстрируют теоретические и практические знания по теме: умение построения графиков тригонометрических функций и описания их свойств. Умеют, развернуто обосновывать суждения. Могут критически оценить информацию адекватно поставленной цели. Учащиеся могут свободно пользоваться свойствами функций и строить графики сложных функций. Умеют передавать, информацию сжато, полно, выборочно. Умеют проводить самооценку собственных действий. Умеют самостоятельно выбрать критерии для сравнения, сопоставления, оценки и классификации объектов. Оборудование и материалы для урока: мультипроектор, презентация для сопровождения урока, листы самоконтроля, карточки с текстом самостоятельной работы. Тип урока: урок-тренинг Ход урока. I. Организационный момент. II. Сообщение темы и целей урока Сегодня на уроке мы обобщим и систематизируем имеющиеся знания по теме «Тригонометрические функции и их свойства». А всякое знание должно перейти в умение и навык. Проверим свои знания, умения и навыки, выясним пробелы и попытаемся их ликвидировать. Мы сегодня вспомним, как определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; строить графики изученных функций; описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения. III. Актуализация опорных знаний. Работа по карточкам Вариант №1 Вариант №2 1. Постройте график функции; 2. Укажите область значений данной функции; 3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на интервале 1. Постройте график функции; 2. Укажите промежутки возрастания и убывания функции; 3. Определите нули функции. Проверяем и сравниваем функции. Какие свойства тригонометрических функций вы использовали при решении заданий? 1 вариант: y=sinx, обратите внимание на слайд. Область определения Точки пересечения с осями координат Четность и нечетность Промежутки монотонности Экстремумы Периодичность Промежутки знакопостоянства Множество значений 2 вариант:y=cos x, внимание на слайд. Область определения Точки пересечения с осями координат Четность и нечетность Промежутки монотонности Экстремумы Периодичность Промежутки знакопостоянства Множество значений IV. Практикум по решению задач 1. В одной системе координат построить графики функций одной группы и описать их свойства: 1) , . 2) , . Обобщить преобразования графиков функций сдвигом по оси. В одной системе координат построить графики функций одной группы и описать их свойства: 1) , . 2) , . 2. Докажите, что число является периодом функции. 3. Докажите, что число является периодом функции. 4. Найдите наименьший положительный период функции 5. Найдите наименьший положительный период функции 6. Переведите из градусной меры в радианную и расположите в порядке возрастания: , . 7. Переведите из радианной меры в градусную и расположите в порядке убывания: , . V. Итог урока VI. Повторить свойства тангенса и котангенса.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Алгебра и начала анализа
10 класс
УМК: А.Г. Мордкович Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы в 2 ч. Ч. 1. Учебник;
А.Г. Мордкович Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы в 2 ч. Ч. 2. задачник;
А.Г. Мордкович, П.В. Семенов Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы. Методическое пособие для учителя.
Уровень обучения: базовый
Тема урока: Повторение. Тригонометрические функции и их свойства
Общее количество часов, отводимое на итоговое обобщающее повторение 12часов. На обобщение и повторение данной темы «Тригонометрические функции и их свойства» отводится 3 часа.
Урок № 3
Цели:
Образовательные: обобщить и систематизировать знания обучающихся по изученной теме, провести контроль уровня усвоения материала;
Развивающие: развитие математического мышления, интеллектуальных и познавательных способностей, развитие умения обосновать свое решение, контролировать и оценивать результаты своих действий;
Воспитательные: воспитание культуры общения, познавательной активности, чувства ответственности за выполненную работу, дисциплинированности, аккуратности, самостоятельности.
В результате изучения данной темы:
У учащихся формируются ключевые компетенции - способность самостоятельно действовать в ситуации неопределённости при решении актуальных для них проблем – умением мотивировано отказываться от образца, искать оригинальные решения
Учащихся демонстрируют теоретические и практические знания по теме: умение построения графиков тригонометрических функций и описания их свойств. Умеют, развернуто обосновывать суждения. Могут критически оценить информацию адекватно поставленной цели.
Учащиеся могут свободно пользоваться свойствами функций и строить графики сложных функций. Умеют передавать, информацию сжато, полно, выборочно. Умеют проводить самооценку собственных действий. Умеют самостоятельно выбрать критерии для сравнения, сопоставления, оценки и классификации объектов.
Оборудование и материалы для урока: мультипроектор, презентация для сопровождения урока, листы самоконтроля, карточки с текстом самостоятельной работы.
Тип урока: урок-смотр знаний
Ход урока.
I. Организационный момент.
II. Сообщение темы и целей урока .
Сильнее всех – владеющий собой.
Сенека
Мы живем в реальном мире и для его познания нам необходимы знания. Но прежде, чем подняться на следующую ступеньку, нужно убедиться, что мы крепко стоим на ногах, имеем хорошие, прочные знания по изучаемой теме.
Сегодня на уроке мы обобщим и систематизируем имеющиеся знания по теме «Тригонометрические функции и их свойства».
А всякое знание должно перейти в умение и навык. Проверим свои знания, умения и навыки, выясним пробелы и попытаемся их ликвидировать.
- Актуализация опорных знаний.
1. Фронтальный опрос.
Назовите тригонометрические функции, которые вы знаете?
А теперь повторим свойства известных нам тригонометрических функций.
(Обучающие называют свойства тригонометрических функций, каждый правильный ответ высвечивается на слайде. В результате обсуждения появляется таблица.) (Слайд 4-7)
2. Устная работа по решению простейших задач на преобразование графиков тригонометрических функций. (Слайд 8-10)
- Работа с листами самоконтроля . (Приложение 1,слайд 11)
На уроке вы будете выполнять различные задания, и постепенно будете заполнять лист самоконтроля учащегося. Подпишите лист самоконтроля и познакомьтесь с его содержанием. Оцените насколько вы готовы к выполнению заданий и поставьте прогностическую оценку. И пока лист отложите.
- Графический диктант.
Результатом выполнения диктанта на листках самоконтроля обучающихся станет такая запись.
где знаками обозначено: + да, нет. После окончания диктанта обучающие обмениваются диктантом с соседом по парте для проверки. Каждый верный ответ оценивается в 1 балл, за неверный ответ и отсутствие ответа выставляется 0 баллов. Слайд 12
- Самостоятельная работа по вариантам . (Приложение 2)
I вариант.
у= 4 х.
- Определите знак числа sin1 cos9 tg(-2)
- нет точек пересечения
- Найдите наименьший положительный период функции
у=2+
II вариант.
- Укажите множество значений функции:
Государственное автономное профессиональное
образовательное учреждение
"Орский медицинский колледж"
Методическая разработка по дисциплине
ОДБ.06 Математика
Тема:
СОСТАВИТЕЛЬ РАССМОТРЕНО
на заседании ЦМК
Преподаватель математики: общегуманитарных,
И.В.Аброськина математических и
естественнонаучных дисциплин
Протокол №____
от_____________2016г.
Председатель ЦМК:
Т.В.Губская
Орск, 2016 г.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
В основе Федерального государственного образовательного стандарта лежит системно-деятельностный подход. ФГОС ставит перед педагогами новые задачи.
развитие и воспитание личности в соответствии с требованиями современного информационного сообщества;
развитие у обучающихся способности самостоятельно получать и обрабатывать информацию по учебным вопросам;
индивидуальный подход к студентам;
развитие коммуникативных навыков у студенетов;
ориентировка на применение творческого подхода при осуществлении педагогической деятельности.
Системно-деятельностный подход как основа ФГОС помогает эффективно реализовывать эти задачи. Главным условием при реализации стандарта является включение обучающихся в такую деятельность, когда они самостоятельно будут осуществлять алгоритм действий, направленных на получение знаний и решение поставленных перед ними учебных задач. Системно-деятельностный подход как основа ФГОС помогает развивать способности детей к самообразованию.
В рамках данного подхода и разработана тема " Тригонометрические функции, их свойства и графики".
Методическая разработка основана на Рабочей программе (ФГОС, специальности 34.02.01 Сестринское дело, 31.02.03 Лабораторная диагностика), по которой на изучении темы "Тригонометрические функции, их свойства и графики" отводится 2 часа практического занятия. В рамках темы рассматриваются основные свойства тригонометрических функций и их графики, связь данных функций с медициной и другими областями знаний, подчеркивается важность данной темы.
В ходе освоения темы "Тригонометрические функции, их свойства и графики" студенты осознают роль математики и тригонометрии в медицине, а именно по расшифровке кардиограммы сердца, учатся высчитывать ЧСС (частоту сердечных сокращений), распознавать синусовый ритм (нормальный, тахикардия, брадикардия).
При изучении данной темы прослеживается связь с медициной, биологией, анатомией, что безусловно вызывает мотивацию у студентов к изучению данной темы, и позволяет в дальнейшем углубить знания по предмета.
В процессе изучения темы "Тригонометрические функции, их свойства и графики" студенты смогут в реальной жизни и в совей профессиональной деятельности определять по кардиограмме сердца ЧСС и делать заключение о характере синусового ритма.
Тема: Тригонометрические функции, их свойства и графики
Обучающие:Знать все свойства тригонометрических функций, уметь строить графики тригонометрических функций. Уметь делать заключение по кардиограмме сердца о синусоидном ритме и ЧСС.
Развивающие:
y от x
Воспитательные:
Воспитывать аккуратность, целеустремленность, дисциплинированность.
продолжить воспитание активности, взаимопомощи, творческого отношения к делу.
Средства обучения, оборудование
План-конспект,компьютер, проектор, презентация.
Вид учебного занятия
Теоретическо-практическое
Применяемые технологии
Системно-деятельностный подход, информационные технологии, технология проблемного обучения.
Структура занятия
Этап 1.
Организационный момент / 1-2 минуты
Деятельность обучающихся
Подготовка к занятию
Деятельность преподавателя
Проверка присутствующих, настрой на урок
Этап 2.
Мотивационный момент / 2 минуты
Деятельность обучающихся
Формулирование цели урока
Деятельность преподавателя
1.Формулирует тему урока
2. Подводит учащихся к формулировке цели урока
3. Вызывает интерес к изучаемому материалу различными методами 4. Создает мотивацию
Этап 3.
Фронтальный опрос / до 8 минут
Деятельность обучающихся
Отвечают на вопросы
Деятельность преподавателя
Этап 4.
Изучение нового материала /50 минут
Деятельность обучающихся
1. Работа с конспектом, запись в тетрадь основных моментов, указанных преподавателем
2. Самостоятельное описание свойств тригонометрических функций по графику
3. Тригонометрия в жизни человека; Связь тригонометрии с медициной, исследовательская работа (презентации) - 2 группы студентов
Деятельность преподавателя
Объяснение нового материала:
1. Постановка проблемного вопроса:
Каково значение тригонометрии для медицины?
2. Функция вида (определение, график)
3. Функция вида (определение, график
4. Показ видео "ЭКГ под силу каждому"
Этап 5.
Этап закрепления и обобщения знаний / 20 минут
Деятельность обучающихся
1. Работа в группах. Создание "консилиума" медиков и постановка заключения по кардиограмме сердца о синусоидном ритме и частоте сердечных сокращений (ЧСС)
2. подведение итогов, запись выводов в тетрадь
Деятельность преподавателя
1.Помощь в формулировке выводов
2.Контроль и коррекция знаний, предоставление возможности выявления причин ошибок и их исправления.
Этап 6.
Рефлексия /6 минут
Деятельность обучающихся
.
2.Работают с конспектами
Пометки на полях:
«+» - знал
«!» - новый материал (узнал)
«?» - хочу узать
Деятельность преподавателя
Контроль за результатом учебной деятельности, оценка знаний .
Этап 7.
Домашнее задание / 2 минуты
Содержание домашнего задания
Без знания математики нельзя понять ни основ
современной техники, ни того как ученые изучают
природные и социальные явления.
А.Н. Колмагоров
Урок по теме : Тригонометрические функции, их свойства и графики.
Организационная информация
Тема урока: Тригонометрические функции, их свойства и графики
Предмет: Математика
Преподаватель: Аброськина Ирина Владимировна
Образовательное учреждение: ГАПОУ "Орский медицинский колледж"
Методическая база:
1. Луканкин А.Г. - Математика: учеб. для учащихся сред. проф. образования/ А.Г. Луканкин. - М.: ГЭОТАР - Медиа, 2012. - 320 с.
2. Мордкович А.Г. - Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 2012. - 336 с.
3. Учеба. ru
4. Math . ru «библиотека»
5. История математики с Древнейших времен до начала XIX столетия в 3-х томах// под ред. А. П. Юшкевича. Москва, 1970г. – том 1-3 Э. Т. Бэлл Творцы математики.
6. Предшественники современной математики// под ред. С. Н. Ниро. Москва,1983г. А. Н. Тихонов, Д. П. Костомаров.
7. Рассказы о прикладной математике//Москва, 1979г. А. В. Волошинов. Математика и искусство// Москва, 1992г. Газета Математика. Приложение к газете от 1.09.98г.
Тип урока: комбинированный
Длительность: 2 учебных часа
Цель урока: Изучение тригонометрических функций, их свойств и графиков.
Определение роли тригонометрии для медицины.
Задачи урока:
Обучающие : Знать все свойства тригонометрических функций, уметь строить графики тригонометрических функций. Уметь делать заключение по кардиограмме сердца о синусоидном ритме и ЧСС.
Развивающие: Продолжить формирование умений и навыков по построению графиков, применяя зависимость y от x . Показать значимость тригонометрии для медицины.
Воспитательные: Воспитывать аккуратность, целеустремленность, дисциплинированность. П родолжить воспитание активности, взаимопомощи, творческого отношения к делу.
Используемые технологии: системно- деятельностный подход, развивающее обучение, групповая технология, элементы исследовательской деятельности, ИКТ.
Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор, презентации студентов, видео "ЭКГ под силу каждому"
План урока:
1. Организационный момент - 1-2 мин.
2. Мотивационный момент - 2 мин.
3. Фронтальный опрос - 8 мин.
4. Изучение нового материала - 50 мин.
5. Закрепление и обобщение знаний - 20 мин
6. Рефлексия - 6 мин.
7. Домашнее задание - 2 мин.
Ход урока
1. Организационный момент
Проверка присутствующих, настрой на урок.
2. Мотивационный момент
Сообщение темы урока
Подведение студентов к самостоятельному формулированию цели урока
Подчеркивание важности данной темы, для медицины и окружающего мира.
3. Фронтальный опрос
Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач)
Ответы студентов на вопросы преподавателя ( На этом этапе происходит актуализация знаний учащихся, необходимых для дальнейшей работы на уроке):
1. Что такое тригонометрические функции числового аргумента?
2. Каково значение тригонометрических функций в первой четверти(таблица значений)?
3. Какие функции являются четными, а какие нечетными?
4. Какова симметрия графиков четных и нечетных функций?
5. Какие из тригонометрических функций являются четными (нечетными)?
4. Изучение нового материала
1) Начать изучение темы мне хотелось бы со слов великого математика Николая Ивановича Лобачевского:" Нет ни одной области математики, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира"
2) Поставим вопрос: Каково значение тригонометрии для медицины?
Надеюсь, после изучения нашей темы, каждый из вас сможет ответить на поставленный вопрос.
3) Итак, начнем изучение тригонометрических функций, рассмотрим их основные свойства и построим их графиики.
Тригонометрические функции
Основными тригонометрическими функциями являются функции y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Рассмотрим каждую из них в отдельности.
Y = sin(x)
График функции y=sin(x).
Основные свойства:
3. Функция нечетная.
Y = cos(x)
График функции y=cos(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось.
2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].
3. Функция четная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.
Y = tg(x)
График функции y=tg(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k – целое.
3. Функция нечетная.
Y = ctg(x)
График функции y=ctg(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k – целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.
4) Зачем человеку нужно в жизни знание свойств функций и умение читать графики? Любые периодически повторяющиеся движения называются КОЛЕБАНИЯМИ
Практика изучения колебаний показала полезную и вредную роль.
Каждому специалисту необходимо владеть теорией колебательных процессов.
Теория колебаний- это область науки, связанная с математикой, физикой и медициной. Гармонические колебания
Механические колебания
Вибрация. Вредные воздействия вибрации
Ультразвук
Инфразвук звук
Электромагнитные колебания (применяются для радио, телевидения,
связи с космическими объектами)
Вывод :
Колебания происходят по законам синусов и косинусов
Свойства тригонометрических функций показывают какие параметры могут изменяться
Результаты измерений и расчёты показывают как избежать вредных воздействий колебаний и как их применять
5) Остановимся подробнее, на теории колебаний в медицине. Где вы встречаетесь с колебаниями в своем организме - СЕРДЦЕ. Как называют кардиограмму сердца - СИНУСОИДА. Следовательно, сердце работает по тригонометрическим законам, и нам просто необходимо их знать и понимать.
Также тригонометрические законы встречаются и в окружающем нас мире:
В природе (биология)
В архитектуре (здания, сооружения)
В музыке (гармоничные мелодии)
и в других областях.
Сейчас вашему вниманию, группа студентов представит вам свои исследовательские работы на данную тему. Представление презентаций студентами на темы:
- "Связь тригонометрической функции и медицины"
- "Тригонометрия в медицине"
- "Тригонометрия в окружающем нас мире и жизни человека"
6) Просмотр учебного видеофильма "ЭКГ под силу каждому"
7) Знакомство студентов с ЭКГ здорового человека, и с нарушением ритма.
8) Формула подсчета ЧСС (частоты сердечных сокращений)
5. Закрепление и обобщение знаний
1. Разбить студентов на 2 группы.
2. Работа в группах. Создание "консилиума" медиков и постановка заключения по кардиограмме сердца о синусовом ритме и частоте сердечных сокращений (ЧСС)
3. Озвучивание своих заключений (по одному представителю от группы)
4. Основные выводы, коррекция преподавателем основных выводов.
6. Рефлексия
1. Самостоятельное подведение итогов урока, самоанализ и самооценка .
2. Работа с конспектами
Пометки на полях:
«+» - знал
«!» - новый материал (узнал)
«?» - хочу узнать
3. Оценка знаний.
7. Домашнее задание
1. Математика, Башмаков М.И.,2012 - Стр.107/Стр.165
2. Подготовить (по желанию) сообщение: «Тригонометрия в медицине и биологии»
Приложение к уроку
Презентации студентов
(исследовательских групп)
- Развитие познавательного интереса к обучению.
- Применение математического моделирования как способа активизации аналитического мышления.
- Формирование практических навыков построения графиков функций на основе изученного теоретического материала.
- Использовать имеющийся потенциал знаний о свойствах функций в конкретных ситуациях.
- Уметь отстаивать свою точку зрения.
- Применять осознанное установление связей между аналитической и геометрической моделями тригонометрических функций.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. «Вход в урок».
На доске написаны 3 утверждения:
1) Тригонометрические уравнения sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a всегда имеют решения.
2) График тригонометрической функции у = f(-x) можно получить из графика функции у = f(x) только с помощью преобразования симметрии относительно оси Оу.
3) График гармонического колебания можно построить, используя одну главную полуволну.
Учащиеся обсуждают в парах: верны ли утверждения? (1 минута). Затем результаты первоначального обсуждения (да, нет) вносятся в таблицу в столбец «До».
Учитель ставит цели и задачи урока.
3. Устные упражнения (фронтально).
1) Проверьте, принадлежат ли точки графикам функций:
у = sin x точка с координатами
у = cos x точка с координатами .
2) Найти наибольшее и наименьшее значения функций:
у = sin x на отрезке
у = cos x на полуинтервале
у = tg х на полуинтервале
3) Решите уравнения: cos x = 0, tg х = -1, sin x = 2.
4) Является ли число 15? периодом функций: у = sin x, у = cos x, у = tg х?
Назовите основной период этих функций.
5) Используя рисунки 14-17 на странице 38 задачника, составить аналитические модели функций по графикам.
4. Разминка (самостоятельно, с проверкой за доской).
№ 216(б). Решите графически уравнение sin x + cos x = 0.
5. Практическая работа № 1 (работа на заготовленных макетах в 4 группах, группы составлены по уровню подготовленности учащихся).
1 группа. № 210 (г). Сколько решений имеет система уравнений
2 группа. № 183 (б). Решите графически уравнение sin x = х 2 + 1.
3 группа. № 209 (в). Решите графически уравнение
4 группа . Сколько решений имеет уравнение sin 2x = tg х на отрезке
(Проверка и обсуждение по макетам).
Практическая работа № 2 (самостоятельная работа на листочках, 4 варианта, задания составлены по уровню подготовленности учащихся).
Построить график функции:
7. Обобщение и подведение итогов.
№ 194 (б,в). Постройте и прочитайте график функции у = f(x), где
8. Итог урока. Возвращаемся к утверждениям (начало урока), обсуждаем, используя свойства тригонометрических функций, и заполняем в таблице столбец «После».
